Calcule a série de Fourier da função f(x)=cos ^5 x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a série de Fourier de f(x)=cos^5 x, que é uma função periódica de período 2pi. Para isso, vamos usar identidades trigonométricas que transformam potências de cosseno em soma de cossenos de frequências múltiplas.

Passo 2

Começamos escrevendo cos^5 x como (cos^2 x)^2cos x e usando a identidade de redução
cos^2 x=1+cos 2x2

Passo 3

Substituindo em (cos^2 x)^2cos x e expandindo, obtemos
cos^5 x=(1+cos 2x2)^2cos x =3+4cos 2x+cos 4x8cos x

Passo 4

Usamos então as fórmulas de produto para soma:
cos 2xcos x=cos 3x+cos x2
cos 4xcos x=cos 5x+cos 3x2
Substituindo na expressão anterior e simplificando os coeficientes.

Passo 5

Por fim, agrupamos os termos semelhantes de cos x, cos 3x e cos 5x, chegando à série de Fourier:
cos^5 x=10cos x+5cos 3x+cos 5x16

Resposta

cos^5 x=dfrac10cos x+5cos 3x+cos 5x16.

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