Determine, se existirem, as assíntotas horizontais e verticais da função
f(x)=raiz4-raizxraizx^2-16

Passo 1

Nesse exercício vamos analisar a função f(x)=raiz4-raizxraizx^2-16 para encontrar possíveis assíntotas horizontais e verticais. O conteúdo principal é estudo de assíntotas usando domínio e limites.

Passo 2

Primeiro determinamos o domínio de f. Temos raizx exigindo x>=0 e raizx^2-16 exigindo x^2-16>=0, isto é |x|>=4. A interseção com x>=0 resulta em x>=4. Assim só precisamos olhar para x>=4.

Passo 3

Agora buscamos assíntotas verticais onde o denominador se anula sem que o numerador anule. O candidato é x=4, pois x^2-16=0 aí. Mas o numerador também é 2-raiz4=0, então temos indeterminação do tipo 0/0 em x=4. Devemos calcular o limite.

Passo 4

Para ver se há assíntota ou ponto removível em x=4, calculamos limxto4^+f(x). Fazendo a substituição t=raizx, fica
f(x)=2-traiz(t^2-4)(t^2+4)=-(t-2)raizt-2,raizt+2,raizt^2+4=-raizt-2raizt+2,raizt^2+4

Passo 5

Quando xto4^+ temos tto2^+, então raizt-2to0 e o limite vale 0. Logo não há assíntota vertical em x=4, pois a função tende a 0.

Passo 6

Para assíntota horizontal, calculamos limxto+inftyf(x). Para grandes x,
raiz4-raizxsim -raizx, raizx^2-16sim x
Assim
limxto+inftyf(x)=limxto+infty-raizxx=-limxto+infty1raizx=0

Resposta

Assíntota horizontal: y=0. Não existem assíntotas verticais.

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