Encontre os valores das constantes m e n que tornam a função f derivável em (-infty,+infty).
Dica: Analise também a continuidade da função f uma vez que uma função derivável deve ser contínua.
f(x)=cc m-n x, & se x <= 1 x^2-2 x+1 & se x>1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que muda de expressão dependendo do valor de $ x $. A missão é encontrar os valores das constantes $ m $ e $ n $ para que essa função seja derivável em todo lugar, ou seja, em qualquer valor de $ x $. Para isso, precisamos garantir que a função seja contínua e que as derivadas dos dois lados no ponto onde muda de expressão sejam iguais. Vamos usar conceitos de continuidade e derivadas para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em $ x = 1 $. Isso significa que o limite da função quando $ x $ se aproxima de 1 pela esquerda (valores menores que 1) deve ser igual ao limite quando $ x $ se aproxima de 1 pela direita (valores maiores que 1), e ambos devem ser iguais ao valor da função em $ x = 1 $.
Para $ x \leq 1 $:
x = 1
Então, o limite pela esquerda é:
x
Para $ x > 1 $:
x
Então, o limite pela direita é:
x = 1
Para a continuidade:
x <= 1

Passo 3

Agora, vamos garantir que a função seja derivável em $ x = 1 $. Para isso, as derivadas pela esquerda e pela direita em $ x = 1 $ devem ser iguais.
Primeiro, calculamos a derivada pela esquerda. Para $ x \leq 1 $:
x = 1
Então, a derivada pela esquerda é:
x = 1
Agora, a derivada pela direita. Para $ x > 1 $:
x <= 1
Então, a derivada pela direita é:
f(x) = m - n x implies f'(x) = -n
Igualando as derivadas:
f'(1^-) = -n
E lembra que vimos que $ m = n $, então:
x > 1

Resposta

Os valores das constantes que tornam a função $ f $ derivável em todo $ \mathbb{R} $ são $ m = 0 $ e $ n = 0 $.

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