Calcule a integral tripla iterada.
integral triplaC raiz1-z^2 d x d z d y no cubo C=[0,1]^3.

Passo 1

Vamos calcular a integral tripla integral triplaC raiz1 - z^2 , dx , dz , dy, onde C é o cubo [0,1]^3. Vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especialmente integrais iteradas.

Passo 2

Observamos que a função raiz1 - z^2 depende apenas da variável z. Isso significa que podemos separar as integrais em relação a x e y.

Passo 3

Primeiro, integramos em relação a x, de 0 a 1:
integral0^1 raiz1 - z^2 , dx = raiz1 - z^2 times (1 - 0) = raiz1 - z^2

Passo 4

Agora, nossa integral fica:
integral0^1 integral0^1 raiz1 - z^2 , dz , dy

Passo 5

Vamos integrar em relação a z, de 0 a 1. A integral de raiz1 - z^2 de 0 a 1 é conhecida e igual a dfracpi4, que representa a área de um quarto de círculo com raio 1.

Passo 6

Por fim, integramos em relação a y, de 0 a 1:
integral0^1 dfracpi4 , dy = dfracpi4 times (1 - 0) = dfracpi4

Resposta

A integral tripla iterada é igual a dfracpi4.

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