Calcule a série de Fourier para a função f de perıíodo 2 pi definida por f(x)=x^3, x in [-pi, pi]. Além disso, achar o valor das seguintes séries.
sumn=0^infty (-1)^n(2 n+1)^3 e sumn=1^infty 1n^3

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que você precisa fazer. Temos que calcular a série de Fourier para a função sumn=0^infty (-1)^n(2 n+1)^3 e sumn=1^infty 1n^3 definida no intervalo e também encontrar os valores de duas séries específicas:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série de Fourier e como calcular seus coeficientes. Além disso, vamos utilizar algumas propriedades de séries conhecidas para encontrar os valores pedidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série de Fourier. A série de Fourier de uma função periódica f(x) = a02 + sumn=1^infty [ an cos(nx) + bn sin(nx) ] com período é uma representação dessa função como uma soma infinita de senos e cossenos. A forma geral é:
Aqui, , e são os coeficientes de Fourier que precisamos calcular.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente a0 = 1π integral-π^π f(x) , dx . A fórmula para a0 = 1π integral-π^π x^3 , dx é:
No nosso caso, . Vamos fazer a integral:
Sabemos que é uma função ímpar, ou seja, . A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno da origem é zero. Portanto, .

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes an = 1π integral-π^π f(x) cos(nx) , dx . A fórmula para an = 1π integral-π^π x^3 cos(nx) , dx é:
Substituindo :
Aqui, novamente, vemos que é ímpar e é par. O produto de uma função ímpar com uma par é ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero. Logo, para todo .

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes bn = 1π integral-π^π f(x) sin(nx) , dx . A fórmula para bn = 1π integral-π^π x^3 sin(nx) , dx é:
bn = 2π integral0^π x^3 sin(nx) , dx
Substituindo bn = 6n :
Aqui, é ímpar e também é ímpar. O produto de duas funções ímpares é par, então a integral não será zero. Vamos calcular:
Essa integral pode ser resolvida por partes ou utilizando tabelas de integrais. O resultado é:

Passo 6

Agora que temos todos os coeficientes, podemos escrever a série de Fourier para f(x) = sumn=1^infty 6n sin(nx) :
f(x) = 6 sumn=1^infty sin(nx)n
Simplificando, podemos escrever:

Passo 7

Agora, vamos encontrar o valor das séries:
Primeiro, a série:
sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)^3
Essa é uma série alternada envolvendo apenas os termos ímpares. Sabemos que:
sumn=1^infty 1n^3 = zeta(3)
Onde sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)^3 = 34 zeta(3) é a função zeta de Riemann, e .
Para a série alternada dos termos ímpares, podemos relacionar com a função zeta. O valor exato dessa série é:

Passo 8

Finalmente, a segunda série que queremos calcular é:
sumn=1^infty 1n^3 = zeta(3) approx 1.2020569

Resposta

A série de Fourier para a função f(x) = 6 sumn=1^infty sin(nx)n no intervalo sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)^3 = 34 zeta(3) approx 0.9015427 é:
sumn=1^infty 1n^3 = zeta(3) approx 1.2020569
Os valores das séries são:

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