Calcule a série de Fourier para a função
de perıíodo
definida por
. Além disso, achar o valor das seguintes séries.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que você precisa fazer. Temos que calcular a série de Fourier para a função
definida no intervalo
e também encontrar os valores de duas séries específicas:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série de Fourier e como calcular seus coeficientes. Além disso, vamos utilizar algumas propriedades de séries conhecidas para encontrar os valores pedidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série de Fourier. A série de Fourier de uma função periódica
com período
é uma representação dessa função como uma soma infinita de senos e cossenos. A forma geral é:
Aqui,
,
e
são os coeficientes de Fourier que precisamos calcular.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente
. A fórmula para
é:
No nosso caso,
. Vamos fazer a integral:
Sabemos que
é uma função ímpar, ou seja,
. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno da origem é zero. Portanto,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
. A fórmula para
é:
Substituindo
:
Aqui, novamente, vemos que
é ímpar e
é par. O produto de uma função ímpar com uma par é ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero. Logo,
para todo
.
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
. A fórmula para
é:
Substituindo
:
Aqui,
é ímpar e
também é ímpar. O produto de duas funções ímpares é par, então a integral não será zero. Vamos calcular:
Essa integral pode ser resolvida por partes ou utilizando tabelas de integrais. O resultado é:
Passo 6
Agora que temos todos os coeficientes, podemos escrever a série de Fourier para
:
Simplificando, podemos escrever:
Passo 7
Agora, vamos encontrar o valor das séries:
Primeiro, a série:
Essa é uma série alternada envolvendo apenas os termos ímpares. Sabemos que:
Onde
é a função zeta de Riemann, e
.
Para a série alternada dos termos ímpares, podemos relacionar com a função zeta. O valor exato dessa série é:
Passo 8
Finalmente, a segunda série que queremos calcular é:
Resposta
A série de Fourier para a função
no intervalo
é:
Os valores das séries são: