Para as funções abaixo. Suponha que a função é estendida, periodicamente, para fora do intervalo dado. Então
(a) encontre a série de Fourier da função estendida.
(b) esboçe o gráfico da função para a qual a série converge por 3 períodos.
i.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a série de Fourier de uma função definida de forma diferente em dois intervalos e, depois, esboçar o gráfico dessa função para três períodos. O conteúdo que vamos usar aqui é a Série de Fourier, que nos permite representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série (a₀, aₙ e bₙ) usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o coeficiente a₀, que representa a média da função no intervalo. A fórmula para a₀ é:
Aqui, nosso intervalo é de -1 a 1, então L = 1. A função dada é:
Vamos calcular a integral em duas partes:
De -1 a 0:
De 0 a 1:
Então,
Calculando as integrais:
Integral de de -1 a 0:
Integral de de 0 a 1:
Somando as duas partes:
Passo 3
Agora, vamos calcular os coeficientes aₙ que multiplicam os termos de cosseno. A fórmula para aₙ é:
Como L = 1, simplifica para:
Vamos novamente dividir a integral em duas partes:
De -1 a 0:
De 0 a 1:
Então,
Essas integrais podem ser resolvidas por partes ou usando tabelas de integrais. No entanto, após calcular, observa-se que devido à simetria da função, os coeficientes aₙ acabam sendo zero. Isso ocorre porque a função não é simétrica em relação ao eixo y.
Passo 4
Vamos calcular agora os coeficientes bₙ que multiplicam os termos de seno. A fórmula para bₙ é:
Com L = 1, simplifica para:
Dividindo a integral em duas partes:
De -1 a 0:
De 0 a 1:
Então,
Após resolver essas integrais (novamente por partes ou tabelas de integrais), encontramos que os coeficientes bₙ não são zero e são dados por:
Passo 5
Com todos os coeficientes calculados, podemos escrever a série de Fourier da função . Usando a fórmula geral: