Encontre a série de Fourier indicada para a função dada e esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três periodos.
f(x) = { 1, 0 < x < 1; 0, 1 < x < 2 } série em senos, periodo 2 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a série de Fourier em senos para uma função específica e desenhar o gráfico dessa função para três períodos. O conteúdo que vamos usar aqui é o das Séries de Fourier, focando nas séries de senos. Para resolver isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série de senos e montar a série utilizando esses coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos analisando. A função é definida no intervalo de a como:
Como a série de Fourier é em senos e o período é , vamos assumir que a função é estendida de forma ímpar para todo o eixo, o que nos permite usar apenas os termos de senos na série.

Passo 3

Agora, vamos calcular os coeficientes da série de senos. A fórmula para o coeficiente em uma série de Fourier seno é:
Aqui, é metade do período, então . Assim, a fórmula simplifica para:
Como nesse intervalo, a integral fica:

Passo 4

Calculando a integral:
Simplificando:
Portanto, os coeficientes são:
ééí

Passo 5

Com os coeficientes calculados, a série de Fourier em senos para fica:

Resposta

A série de Fourier em senos para a função dada é:
E o gráfico da função para três períodos é um padrão repetitivo de ondas com valores alternando entre 1 e 0 a cada meio período.

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