Encontre a série de Fourier indicada para a função dada e esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três periodos.
série em senos, periodo 2 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a série de Fourier em senos para uma função específica e desenhar o gráfico dessa função para três períodos. O conteúdo que vamos usar aqui é o das Séries de Fourier, focando nas séries de senos. Para resolver isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série de senos e montar a série utilizando esses coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos analisando. A função
é definida no intervalo de
a
como:
Como a série de Fourier é em senos e o período é
, vamos assumir que a função é estendida de forma ímpar para todo o eixo, o que nos permite usar apenas os termos de senos na série.
Passo 3
Agora, vamos calcular os coeficientes
da série de senos. A fórmula para o coeficiente
em uma série de Fourier seno é:
Aqui,
é metade do período, então
. Assim, a fórmula simplifica para:
Como
nesse intervalo, a integral fica:
Passo 4
Calculando a integral:
Simplificando:
Portanto, os coeficientes são:
Passo 5
Com os coeficientes calculados, a série de Fourier em senos para
fica:
Resposta
A série de Fourier em senos para a função dada é:
E o gráfico da função para três períodos é um padrão repetitivo de ondas com valores alternando entre 1 e 0 a cada meio período.