Encontre a série de Fourier indicada para a função dada e esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três periodos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier para a função
no intervalo de
. A matéria envolvida aqui é a expansão em séries de Fourier, que serve para representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier e montar a expressão completa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier para uma função par (que é simétrica em relação ao eixo y) em um intervalo
é dada por:
Como nossa função
é par (
), não teremos os termos de seno na série. Aqui,
, então a série fica:
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente
usando a fórmula:
Substituindo
e
:
Calculando a integral:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
para
usando a fórmula:
Substituindo
e
:
Como a função
é par e o cosseno também é par, podemos simplificar a integral:
Passo 5
Vamos resolver a integral
usando integração por partes. Vamos fazer duas vezes:
Primeira integração por partes:
-
então -
então
Aplicando:
Segunda integração por partes no termo
:
-
então -
então
Aplicando:
Substituindo de volta:
Avaliando de 0 a 1:
Como
e
:
Então:
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos montar a série de Fourier da função:
Resposta
A série de Fourier da função
no intervalo
é: