Encontre a série de Fourier indicada para a função dada e esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três periodos.
f(x) = x^2 / 2, -1 <= x <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier para a função no intervalo de . A matéria envolvida aqui é a expansão em séries de Fourier, que serve para representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier e montar a expressão completa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier para uma função par (que é simétrica em relação ao eixo y) em um intervalo é dada por:
Como nossa função é par ( ), não teremos os termos de seno na série. Aqui, , então a série fica:

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente usando a fórmula:
Substituindo e :
Calculando a integral:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes para usando a fórmula:
Substituindo e :
Como a função é par e o cosseno também é par, podemos simplificar a integral:

Passo 5

Vamos resolver a integral usando integração por partes. Vamos fazer duas vezes:
Primeira integração por partes:
  • então
  • então
Aplicando:
Segunda integração por partes no termo :
  • então
  • então
Aplicando:
Substituindo de volta:
Avaliando de 0 a 1:
Como e :
Então:

Passo 6

Agora que temos e , podemos montar a série de Fourier da função:

Resposta

A série de Fourier da função no intervalo é:

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