Calcule a série de Fourier das funções a seguir, definidas no intervalo [-\pi, \pi]\). (a) \(f(x)= \begin{cases}1, & |x| \leq \frac{\pi}{2} ; \\\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a série de Fourier da função f\) definida em \([-\pi,\pi]\) por \[f(x)=\begin{cases} 1, & |x|\le \dfrac{\pi}{2},\\[6pt] 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O domínio de estudo é o intervalo [-\pi,\pi]\]. - A função é uma "janela retangular" de altura \(1 que vale 1 em [-\pi/2,\pi/2] e 0 no restante de [-\pi,\pi].
    - O objetivo é obter a série de Fourier padrão em [-\pi,\pi], isto é a forma
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr),
com as fórmulas usuais para a_n e b_n.]

Passo 2

Vou lembrar as fórmulas dos coeficientes de Fourier (essas são as ferramentas que usamos).
  • A constante a_0 é dada por
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx.
  • Para n\ge1,
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx, \qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.
Explicando de leve: a_n mede a componente de cosseno de frequência n e b_n mede a componente de seno. Para computar essas integrais, usaremos que f(x)=1 somente em [-\pi/2,\pi/2] e zero fora disso, então as integrais sobre [-\pi,\pi] reduzem a integrais sobre [-\pi/2,\pi/2].

Passo 3

Calcular a_0. Como f(x)=1 em [-\pi/2,\pi/2] e zero no resto,
\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}1\,dx=\left[x\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}=\pi.
Portanto
a_0=\frac{1}{\pi}\cdot\pi=1,
e o termo constante na série será \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{1}{2}.

Passo 4

Calcular a_n para n\ge1. Usando que f(x)=1 só em [-\pi/2,\pi/2],
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos(nx)\,dx.
Agora integramos \cos(nx). A integral de \cos(nx) é \dfrac{\sin(nx)}{n}. Assim
a_n=\frac{1}{\pi}\left[\frac{\sin(nx)}{n}\right]_{-\pi/2}^{\pi/2} =\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\sin\!\bigl(n\pi/2\bigr)-\sin\!\bigl(-n\pi/2\bigr)}{n}.
Como \sin(-\theta)=-\sin\theta, isso fica
a_n=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{2\sin\!\bigl(n\pi/2\bigr)}{n} =\frac{2}{\pi n}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr).
Esse é um resultado já bem compacto: a_n=\dfrac{2}{\pi n}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr).

Passo 5

Simplificar a expressão de a_n usando o comportamento de \sin\!\bigl(n\pi/2\bigr) conforme n modulo 4. Vejamos alguns casos para fixar a intuição:
  • Se n é par, digamos n=2m, então \sin\!\bigl(n\pi/2\bigr)=\sin(m\pi)=0. Logo a_n=0 para todo n par.
  • Se n é ímpar, escreva n=2k+1. Então
\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)=\sin\!\bigl(\tfrac{(2k+1)\pi}{2}\bigr)=(-1)^k.
(Ex.: k=0\Rightarrow n=1 \sin(\pi/2)=1; k=1\Rightarrow n=3 \sin(3\pi/2)=-1, etc.) Portanto, para n=2k+1 ímpar,
a_{2k+1}=\frac{2}{\pi(2k+1)}(-1)^k.
Assim podemos escrever a_n em forma final: a_n=0 se n é par, e a_n=\dfrac{2(-1)^k}{\pi(2k+1)} quando n=2k+1.

Passo 6

Calcular b_n. Como f é função par (ou seja f(-x)=f(x)) e \sin(nx) é função ímpar, o produto f(x)\sin(nx) é ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico [-\pi,\pi] é zero. Formalmente,
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin(nx)\,dx,
mas integrando uma função ímpar em limites simétricos dá 0. Assim b_n=0 para todo n\ge1.

Passo 7

Escrever a série de Fourier compacta usando apenas os termos de cosseno ímpares (já que a_n anula para n par e b_n=0). Substituindo n=2k+1 obtemos
f(x)=\frac{1}{2}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2(-1)^k}{\pi(2k+1)}\cos\bigl((2k+1)x\bigr).
Comentário importante sobre convergência (útil para prova): onde f é contínua, a série converge para f(x). Nos pontos de descontinuidade (aqui x=\pm \tfrac{\pi}{2}) a série converge para a média dos limites laterais, isto é para \tfrac{1+0}{2}=\tfrac{1}{2}. Isso é o comportamento clássico (fenômeno de Gibbs aparece perto das descontinuidades, mas não é pedido calcular isso aqui).

Resposta

a_n=\frac{2}{\pi n}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr),\qquad b_n=0
\boxed{\,f(x)=\dfrac{1}{2}+\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{2(-1)^k}{\pi(2k+1)}\cos\bigl((2k+1)x\bigr)\,}

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