Calcule a série de Fourier das funções a seguir, definidas no intervalo
Passo 1
O enunciado pede: calcular a série de Fourier da função
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O domínio de estudo é o intervalo
que vale
em e no restante de .
- O objetivo é obter a série de Fourier padrão em, isto é a forma
com as fórmulas usuais para
e
.]
Passo 2
Vou lembrar as fórmulas dos coeficientes de Fourier (essas são as ferramentas que usamos).
- A constante
é dada por
- Para
,
Explicando de leve:
mede a componente de cosseno de frequência
e
mede a componente de seno. Para computar essas integrais, usaremos que
somente em
e zero fora disso, então as integrais sobre
reduzem a integrais sobre
.
Passo 3
Calcular
. Como
em
e zero no resto,
Portanto
e o termo constante na série será
.
Passo 4
Calcular
para
. Usando que
só em
,
Agora integramos
. A integral de
é
. Assim
Como
, isso fica
Esse é um resultado já bem compacto:
.
Passo 5
Simplificar a expressão de
usando o comportamento de
conforme
modulo
. Vejamos alguns casos para fixar a intuição:
- Se
é par, digamos , então . Logo para todo par. - Se
é ímpar, escreva . Então
(Ex.:
dá
;
dá
, etc.) Portanto, para
ímpar,
Assim podemos escrever
em forma final:
se
é par, e
quando
.
Passo 6
Calcular
. Como
é função par (ou seja
) e
é função ímpar, o produto
é ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico
é zero. Formalmente,
mas integrando uma função ímpar em limites simétricos dá
. Assim
para todo
.
Passo 7
Escrever a série de Fourier compacta usando apenas os termos de cosseno ímpares (já que
anula para
par e
). Substituindo
obtemos
Comentário importante sobre convergência (útil para prova): onde
é contínua, a série converge para
. Nos pontos de descontinuidade (aqui
) a série converge para a média dos limites laterais, isto é para
. Isso é o comportamento clássico (fenômeno de Gibbs aparece perto das descontinuidades, mas não é pedido calcular isso aqui).