Calcule a série de Fourier da onda senoidal retificada, isto é,
ou seja, a parte não negativa do seno
Passo 1
A função que vamos analisar é a meia-onda retificada de
senóide, isto é, a parte não negativa de
sen x, com período 2π. Para escrever a série de Fourier, precisamos calcular o coeficiente médio a₀ e os coeficientes an e bn dados por integrais sobre um período.
senóide, isto é, a parte não negativa de
sen x, com período 2π. Para escrever a série de Fourier, precisamos calcular o coeficiente médio a₀ e os coeficientes an e bn dados por integrais sobre um período.
Passo 2
O coeficiente médio a₀ vem de
Como f(x)=sen x para x∈[0,π] e zero em [π,2π], temos
Logo o termo constante na série é a₀/2 = 1/π.
Passo 3
Agora vamos a an:
Usamos a identidade de produto em soma:
Integrando termo a termo de 0 a π e simplificando dá
Passo 4
Observe que quando n é ímpar temos 1+(-1)^n = 0, logo an = 0 para n ímpar. Para n par, digamos n=2k, ficamos com
Passo 5
Agora o coeficiente bn:
De novo usamos produto-soma:
Para n≠1 as integrais de cosseno sobre [0,π] anulam, dando bn=0. No caso n=1,
Passo 6
Juntando tudo, a série de Fourier de f(x) = (sen x)^+ fica
Passo 7
Essa é a forma final da expansão em série de Fourier da onda senoidal retificada.