Calcule a série de Fourier da onda senoidal retificada, isto é,
f(x)=(sen x)^+,
ou seja, a parte não negativa do seno
f(x)=rrr sen x, & se & sen x >= 0 0, & se & sen x<0

Passo 1

A função que vamos analisar é a meia-onda retificada de
senóide, isto é, a parte não negativa de
sen x, com período 2π. Para escrever a série de Fourier, precisamos calcular o coeficiente médio a₀ e os coeficientes an e bn dados por integrais sobre um período.

Passo 2

O coeficiente médio a₀ vem de
a₀ = 1π integral0^2π f(x),dx
Como f(x)=sen x para x∈[0,π] e zero em [π,2π], temos
a₀ = 1π integral0^π sen x,dx = 1π[-cos x]0^π = 1π(cosπ + cos0) = 2π
Logo o termo constante na série é a₀/2 = 1/π.

Passo 3

Agora vamos a an:
an = 1π integral0^2π f(x)cos(nx),dx = 1π integral0^π sen xcos(nx),dx
Usamos a identidade de produto em soma:
sen xcos(nx) = 12l[ sen((n+1)x) + sen((1n)x) r]
Integrando termo a termo de 0 a π e simplificando dá
an = 1+(-1)^nπ(n^21)

Passo 4

Observe que quando n é ímpar temos 1+(-1)^n = 0, logo an = 0 para n ímpar. Para n par, digamos n=2k, ficamos com
a2k = 2π((2k)^21) = 2π(4k^21)

Passo 5

Agora o coeficiente bn:
bn = 1π integral0^2π f(x)sin(nx),dx = 1π integral0^π sen xsin(nx),dx
De novo usamos produto-soma:
sen xsin(nx) = 12l[cos((n1)x) cos((n+1)x)r]
Para n≠1 as integrais de cosseno sobre [0,π] anulam, dando bn=0. No caso n=1,
b₁ = 1π integral0^π sen^2 x,dx = 1π cdot π2 = 12

Passo 6

Juntando tudo, a série de Fourier de f(x) = (sen x)^+ fica
f(x) = 1π + 12,sin x sumk=1^infty 2pi(4k^21)cos(2k x)

Passo 7

Essa é a forma final da expansão em série de Fourier da onda senoidal retificada.

Resposta

f(x) = 1π + 12,sin x ;; sumk=1^infty 2π(4k^21),cos(2k x)

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