Nos problemas, a seguir,
- Esboce o gráfico da função dada por três períodos;
- Encontre a série de Fourier da função dada;
- Faça o gráfico de
em função de
para
e 20 .
Passo 1
O enunciado pede pra gente desenhar o sinal periódico dado por
bem como achar sua série de Fourier e plotar as somas parciais
para
. Vamos usar teoria de séries de Fourier em intervalos de comprimento
.
Passo 2
Primeiro, esboçamos
em três períodos consecutivos
. É uma onda retangular que vale
em cada intervalo de comprimento 2 centrado em valores ímpares de períodos e vale
no intervalo complementar de comprimento 2. O gráfico é uma sequência de blocos alternados entre
e
de largura 2.
Passo 3
Agora vamos calcular o coeficiente médio
. A fórmula é
Isso já nos diz que não há termo constante na série.
Passo 4
Observando que
, concluímos que
é função ímpar. Numa série de Fourier ímpar só aparecem senos, ou seja, todos os
e só teremos
.
Passo 5
O coeficiente
é dado por
Como
é ímpar e
também é ímpar, o produto é par, então
Fazendo a integral, obtemos
Daí
para
par e
para
ímpar.
Passo 6
Portanto a série de Fourier fica
Passo 7
As somas parciais
são
Para
você plota esse somatório em
(e repete periodicamente). Conforme
cresce, o sinal se aproxima da onda retangular, mas com oscilações próximas às descontinuidades (fenômeno de Gibbs).
Nos gráficos, à medida que aumenta, vemos que a aproximação melhora no interior dos trechos constantes e aparece uma ‘overshoot’ fixo cerca de
em cada descontinuidade.
Nos gráficos, à medida que
Resposta
A série de Fourier é
As somas parciais para
são
e seguem o comportamento de aproximação à onda retangular com oscilações de Gibbs nas descontinuidades.