Nos problemas, a seguir,
  • Esboce o gráfico da função dada por três períodos;
  • Encontre a série de Fourier da função dada;
  • Faça o gráfico de sm=(x) em função de x para m=5,10 e 20 .
f(x)=rr -1, & -2 <= x<0 1, & 0 <= x<2 f(x+4)=f(x)

Passo 1

O enunciado pede pra gente desenhar o sinal periódico dado por
f(x)=-1,&-2<= x<01,&0<= x<2, f(x+4)=f(x),
bem como achar sua série de Fourier e plotar as somas parciais sm(x) para m=5,10,20. Vamos usar teoria de séries de Fourier em intervalos de comprimento T=4.

Passo 2

Primeiro, esboçamos f(x) em três períodos consecutivos [-6,6]. É uma onda retangular que vale -1 em cada intervalo de comprimento 2 centrado em valores ímpares de períodos e vale +1 no intervalo complementar de comprimento 2. O gráfico é uma sequência de blocos alternados entre -1 e +1 de largura 2.

Passo 3

Agora vamos calcular o coeficiente médio a0. A fórmula é
a0=1Tintegral-T/2^T/2f(x),dx=14l(integral-2^0(-1),dx+integral0^2 1,dxr)=0
Isso já nos diz que não há termo constante na série.

Passo 4

Observando que f(-x)=-f(x), concluímos que f é função ímpar. Numa série de Fourier ímpar só aparecem senos, ou seja, todos os an=0 e só teremos bn.

Passo 5

O coeficiente bn é dado por
bn=12integral-2^2f(x)sinl(npi x2r),dx
Como f é ímpar e sin também é ímpar, o produto é par, então
bn=integral0^2 1cdotsinl(npi x2r),dx
Fazendo a integral, obtemos
bn=l[-2npicosl(npi x2r)r]0^2=2npil(1-(-1)^nr)
Daí bn=0 para n par e bn=4/(npi) para n ímpar.

Passo 6

Portanto a série de Fourier fica
f(x)=sumk=1^infty4(2k-1)pi,sinl((2k-1)pi x2r)

Passo 7

As somas parciais sm(x) são
sm(x)=sumk=1^m4(2k-1)pi,sinl((2k-1)pi x2r)
Para m=5,10,20 você plota esse somatório em [-2,2] (e repete periodicamente). Conforme m cresce, o sinal se aproxima da onda retangular, mas com oscilações próximas às descontinuidades (fenômeno de Gibbs).
Nos gráficos, à medida que m aumenta, vemos que a aproximação melhora no interior dos trechos constantes e aparece uma ‘overshoot’ fixo cerca de 9% em cada descontinuidade.

Resposta

A série de Fourier é
f(x)=sumk=1^infty4(2k-1)pi,sinl((2k-1)pi x2r)
As somas parciais para m=5,10,20 são
sm(x)=sumk=1^m4(2k-1)pi,sinl((2k-1)pi x2r)
e seguem o comportamento de aproximação à onda retangular com oscilações de Gibbs nas descontinuidades.

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