Beleza, vamos calcular a série de Fourier para a função periódica dada. A função é definida em um intervalo de a L e se repete a cada . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de séries de Fourier, que nos ajudam a representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como é a forma geral de uma série de Fourier para uma função com período :
Aqui, é o termo constante, e , são os coeficientes que vamos calcular.
Passo 3
Vamos começar calculando o termo , que representa a média da função no intervalo:
Substituindo a função f(x):
Calculando as integrais:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes . Como nossa função é ímpar (ou seja, ), os coeficientes serão zero. Isso ocorre porque os termos de cosseno são funções pares e a integral de uma função ímpar vezes uma função par sobre um intervalo simétrico é zero.
Então,
Passo 5
Vamos calcular os coeficientes . Para funções ímpares, os coeficientes são dados por:
Como f(x) é ímpar e também é ímpar, a integral de uma função par (produto de duas ímpares) podemos simplificar para:
Substituindo no intervalo de 0 a L:
Integrando:
Calculando os limites:
Então,
Passo 6
Agora que temos todos os coeficientes, podemos escrever a série de Fourier da função: