Calcule as séries de Fourier.
8) f(x) = {-L, -L < x < 0; 0, x = 0; L, 0 < x < L; f(x + 2L) = f(x)}

Passo 1

Beleza, vamos calcular a série de Fourier para a função periódica dada. A função é definida em um intervalo de a L e se repete a cada . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de séries de Fourier, que nos ajudam a representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como é a forma geral de uma série de Fourier para uma função com período :
Aqui, é o termo constante, e , são os coeficientes que vamos calcular.

Passo 3

Vamos começar calculando o termo , que representa a média da função no intervalo:
Substituindo a função f(x):
Calculando as integrais:

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes . Como nossa função é ímpar (ou seja, ), os coeficientes serão zero. Isso ocorre porque os termos de cosseno são funções pares e a integral de uma função ímpar vezes uma função par sobre um intervalo simétrico é zero.
Então,

Passo 5

Vamos calcular os coeficientes . Para funções ímpares, os coeficientes são dados por:
Como f(x) é ímpar e também é ímpar, a integral de uma função par (produto de duas ímpares) podemos simplificar para:
Substituindo no intervalo de 0 a L:
Integrando:
Calculando os limites:
Então,

Passo 6

Agora que temos todos os coeficientes, podemos escrever a série de Fourier da função:

Resposta

A série de Fourier da função é:

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