Construa extensões para as funções de modo que a série de Fourier das funções tenham a forma indicada; calcule a série de Fourier, usando a simetria.
11) série de senos de período .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função definida por no intervalo de a . Nosso objetivo é estender essa função para todo o período de tal forma que a série de Fourier resultante seja composta apenas por termos de seno. Isso significa que vamos usar a simetria ímpar para facilitar nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que uma série de Fourier de senos é usada para representar funções que são ímpares em relação ao eixo . Isso significa que . Vamos verificar se nossa função pode ser estendida dessa forma.
Passo 3
Dada a função original para , vamos estendê-la de forma ímpar para o intervalo . Para isso, definimos:
Com essa extensão, nossa função é ímpar em todo o intervalo .
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes da série de Fourier de senos. Em uma série de senos com período , a série geral é dada por:
Onde os coeficientes são calculados por:
Passo 5
Substituindo nossa função estendida na fórmula dos coeficientes:
Vamos separar a integral em duas partes:
Passo 6
Vamos calcular cada integral separadamente. Primeiro:
Segundo:
Para resolver , usamos integração por partes:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Calculando os limites:
Passo 7
Voltando aos coeficientes :
Simplificando:
Resposta
Portanto, a série de Fourier de senos para a função no intervalo é: