Construa extensões para as funções de modo que a série de Fourier das funções tenham a forma indicada; calcule a série de Fourier, usando a simetria.
10) série de cossenos de período .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por no intervalo de a , e queremos construir a série de Fourier dessa função usando apenas cossenos, ou seja, uma série de cossenos com período . Para isso, vamos precisar entender como estender a função de maneira apropriada e aplicar as fórmulas da série de Fourier para funções pares.
Passo 2
Como queremos uma série de cossenos, precisamos estender a função de forma que ela seja uma função par. Uma função par satisfaz . Então, para , vamos definir . Agora, nossa função estendida fica assim:
Passo 3
Agora que temos a função estendida como uma função par, podemos escrever a série de Fourier usando apenas cossenos. A fórmula geral para a série de Fourier de uma função par com período é:
Onde os coeficientes são dados por:
Passo 4
Vamos calcular o coeficiente :
Calculando a integral:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes para :
Vamos resolver essa integral em duas partes:
Primeiro, calculamos:
Porque para todo inteiro .
Agora, calculamos a segunda integral usando integração por partes. Seja e . Então, e .
Aplicando integração por partes:
Calculando a integral restante:
Portanto:
Avaliado de a :
Substituindo :
Substituindo :
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Voltando ao cálculo de :
Podemos simplificar isso para:
Passo 7
Agora, juntando tudo, a série de Fourier de para estendida como uma função par com período é:
Resposta
A série de Fourier de para , estendida como uma função par de período , é: