Calcule as séries de Maclaurin das funções abaixo e seus respectivos raios de convergência. Discuta a convergència para a função dada. Sugestão: no último item, utilize a série binomial do exercício anterior. f(x)=\sin (\pi x).
Passo 1
O que o problema pede: calcular a série de Maclaurin de f(x)=\sin(\pi x), determinar o raio de convergência dessa série e discutir em que sentido a série converge para a função dada. Informações importantes do enunciado: a expansão é em torno de 0 (Maclaurin) e a função é f(x)=\sin(\pi x). A partir daqui vamos obter a série de potências centrada em 0, o raio de convergência e comentar sobre a convergência (absoluta, uniforme em intervalos, igualdade com a função).
Passo 2
Lembrete didático: a série de Maclaurin (caso exista) de uma função f é a série de Taylor centrada em 0
Aqui f^{(k)}(0) é a k-ésima derivada de f avaliada em x=0. Uma forma prática, quando possível, é usar uma expansão já conhecida e fazer substituições (por exemplo, a expansão conhecida de \sin z para z genérico). Vou mostrar as duas perspectivas: (i) olhar as derivadas em 0 para ver o padrão; (ii) usar a expansão conhecida de \sin z e substituir z=\pi x.
Passo 3
Padrão das derivadas de \sin z em 0: calculando algumas derivadas em z=0
Isso mostra que apenas derivadas de ordem ímpar são não nulas e seguem o padrão f^{(2n+1)}(0)=(-1)^n\,(2n+1)!\,/ (2n+1)! quando calculadas no contexto da série (o fatorial aparece na fórmula de Taylor). Mais direto: a série de Maclaurin conhecida para \sin z (válida para todo z) é
Como o limite é 0<1 para todo x fixo, pelo critério da razão a série converge absolutamente para todo x\in\mathbb{R}. Portanto o raio de convergência é
R=\infty.
Passo 6
Discussão da convergência para a função dada (explicação didática e intuitiva):
Convergência pontual e absoluta: pela verificação do critério da razão, a série converge absolutamente para todo x\in\mathbb{R}.
Igualdade com a função: \sin(\pi x) é uma função inteira (analytic em todo \mathbb{C}), ou seja, é representável por sua série de Taylor em torno de 0 para todo ponto. Logo a série de Maclaurin obtida converge para \sin(\pi x) para todo x\in\mathbb{R} (não é só convergência numérica, é igualdade).
Convergência uniforme: a série converge uniformemente em qualquer intervalo compacto (por exemplo, em qualquer intervalo finito [-A,A]) — isto é um fato geral sobre séries de potências: convergem uniformemente em todo subconjunto estritamente contido no disco (aqui reta) de convergência. Contudo, a série não converge uniformemente em toda a reta \mathbb{R} (a menos que fosse um polinômio). Intuição curta: se a convergência fosse uniforme em toda \mathbb{R} então os restos teriam que ser pequenos uniformemente para todos os x, o que é impossível se existe um termo de potência arbitrariamente grande numa soma infinita (para grandes x esses termos fixos em n crescem sem limite), a não ser que todos os coeficientes acima de um certo grau sejam zero (caso de polinômio). Portanto a convergência uniforme ocorre em todo compacto, mas não em \mathbb{R} inteiro.
Passo 7
Resumo prático (como decorar para a prova): você pode decorar a expansão padrão
e sempre que tiver \sin(a x) basta substituir z=a x. O raio de convergência será infinito porque o fatorial no denominador domina qualquer potência de x.