Exercício 43. Considere a função
f(x)= \begin{cases}e^{-\frac{1}{x^{2}}}, & x \neq 0 \\\\ 0, & x=0\end{cases}
a) Verifique que f é infinitamente diferenciável e que f^{(n)}(0)=0;
b) Verifique que f coincide com sua série de MacLaurin apenas quando x=0;

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases}e^{-\frac{1}{x^{2}}}, & x \neq 0 \\\\ 0, & x=0\end{cases}
e pede duas coisas:
a) Verificar que f é infinitamente diferenciável em toda a reta e que f^{(n)}(0)=0 para todo inteiro n\ge 0.
b) Verificar que a série de Maclaurin de f (ou seja, a série de Taylor centrada em 0) coincide com f apenas em x=0.
Informações relevantes dadas pelo enunciado que vamos usar:
  • Para x\neq0 temos f(x)=e^{-1/x^{2}}>0.
  • Em x=0 a função vale 0.
  • É conhecido que exponenciais com argumento negativo grande decaem muito rápido; precisaremos justificar formalmente que e^{-1/x^{2}} tende a zero mais rápido que qualquer potência de x quando x\to0.
A resolução começa agora.

Passo 2

Vamos estabelecer um fato técnico crucial que usaremos muitas vezes: para todo inteiro k\ge 0,
\lim_{x\to 0} \frac{e^{-\frac{1}{x^{2}}}}{|x|^{k}} = 0.
Esse fato diz, em palavras, que e^{-1/x^{2}} tende a zero mais rápido do que qualquer potência de |x| quando x\to0.
Prova desse fato (passo a passo, padrão que usamos depois): faça a mudança de variável t=\frac{1}{|x|}. Quando x\to 0 temos t\to +\infty. Escrevemos
\frac{e^{-\frac{1}{x^{2}}}}{|x|^{k}} = \frac{e^{-t^{2}}}{t^{-k}} = t^{k} e^{-t^{2}}.
Logo precisamos mostrar que
\lim_{t\to+\infty} t^{k} e^{-t^{2}} = 0.
Escrevemos essa expressão como razão
t^{k} e^{-t^{2}} = \frac{t^{k}}{e^{t^{2}}}.
Agora aplicamos a regra de L’Hôpital repetidas vezes: derivando o numerador e o denominador, cada aplicação reduz o grau do polinômio no numerador enquanto o denominador continua exponencial (a derivada de e^{t^{2}} é 2t e^{t^{2}}, que mantém a dominância exponencial). Após k+1 aplicações obtemos no numerador uma constante (ou zero) e no denominador uma expressão que tende para +\infty. Portanto a razão tende a 0. Concluímos
\lim_{t\to+\infty} t^{k} e^{-t^{2}} = 0,
e voltando à variável x isso prova o fato desejado:
\lim_{x\to 0} \frac{e^{-\frac{1}{x^{2}}}}{|x|^{k}} = 0.

Passo 3

Mostramos agora que f é diferenciável em 0 e que f'(0)=0.
Pelo limite definidor da derivada em 0 temos
f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{e^{-\frac{1}{h^{2}}}}{h}.
Tomamos módulo (para lidar com h que podem ser negativos) e usamos o fato do passo anterior com k=1:
\left|\frac{e^{-\frac{1}{h^{2}}}}{h}\right|=\frac{e^{-\frac{1}{h^{2}}}}{|h|} \xrightarrow[h\to0]{} 0.
Logo o limite existe e vale 0. Portanto f é diferenciável em 0 e
f'(0)=0.

Passo 4

Vamos obter uma expressão para as derivadas de ordem n em pontos x\neq 0. Isso facilita a prova por indução das derivadas em 0.
Para x\neq 0 temos f(x)=e^{-1/x^{2}}. Calculemos a primeira derivada (regra da cadeia):
f'(x)=e^{-\frac{1}{x^{2}}}\cdot\left(-\frac{d}{dx}\frac{1}{x^{2}}\right)=e^{-\frac{1}{x^{2}}}\cdot\frac{2}{x^{3}}.
Note que f'(x)=P_{1}\!\big(\tfrac{1}{x}\big)\,e^{-1/x^{2}} onde P_{1}(t)=2t^{3} é um polinômio em t=\tfrac{1}{x}.
Agora afirmamos por indução que, para todo n\ge 0, existe um polinômio P_{n}(t) tal que, para x\neq 0,
f^{(n)}(x)=P_{n}\!\big(\tfrac{1}{x}\big)\,e^{-\frac{1}{x^{2}}}.
Base n=0 é verdadeira com P_{0}(t)=1. Suponha verdadeira para n. Diferenciando para obter n+1 usamos a regra do produto e a regra da cadeia. Escrevendo t=1/x e lembrando dt/dx=-1/x^{2}=-t^{2} obtemos
f^{(n+1)}(x)=\left[P_{n}'\!\big(\tfrac{1}{x}\big)\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right) + P_{n}\!\big(\tfrac{1}{x}\big)\cdot\frac{2}{x^{3}}\right] e^{-\frac{1}{x^{2}}}.
Convertendo em função de t isso dá a fórmula recursiva para os polinômios:
P_{n+1}(t) = -t^{2} P_{n}'(t) + 2 t^{3} P_{n}(t).
Assim P_{n+1} é de fato um polinômio (derivada de polinômio é polinômio e combinando termos polinomiais obtemos polinômio). Portanto a forma proposta vale para todo n.
Um comentário intuitivo: cada derivada acrescenta potências de 1/x multiplicando a exponencial, mas a exponencial continua lá; isso é a origem do fator polinomial em 1/x.

Passo 5

Usamos agora o fato do passo 2 para mostrar que, para todo n,
\lim_{x\to 0} f^{(n)}(x) = 0.
Pelo passo anterior, para x\neq 0 temos f^{(n)}(x)=P_{n}\!\big(\tfrac{1}{x}\big)\,e^{-1/x^{2}}. Seja \deg P_{n}=m. Então existe constante C>0 tal que para |t| grande vale |P_{n}(t)|\le C|t|^{m}. Substituindo t=\tfrac{1}{x} e tomando módulo:
|f^{(n)}(x)| \le C \left|\tfrac{1}{x}\right|^{m} e^{-\frac{1}{x^{2}}} = C\,\frac{e^{-\frac{1}{x^{2}}}}{|x|^{m}}.
Pelo resultado do passo 2, o membro da direita tende a 0 quando x\to 0. Portanto
\lim_{x\to 0} f^{(n)}(x)=0.

Passo 6

Agora provamos por indução que f é diferenciável em 0 de todas as ordens e que f^{(n)}(0)=0 para todo n.
Já mostramos o caso n=1 no passo 3. Suponha que para todo k\le n a derivada f^{(k)}(0) existe e vale 0, e que para x\neq 0 a função f^{(n)}(x)=P_{n}(1/x)e^{-1/x^{2}}. Queremos provar que f^{(n)} é diferenciável em 0 e que f^{(n+1)}(0)=0.
Pelo definidor,
f^{(n+1)}(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f^{(n)}(h)-f^{(n)}(0)}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{f^{(n)}(h)}{h}.
Mas para h\neq 0 temos f^{(n)}(h)=P_{n}(1/h)e^{-1/h^{2}}. Assim (tomando módulo)
\left|\frac{f^{(n)}(h)}{h}\right| \le C\,\frac{e^{-\frac{1}{h^{2}}}}{|h|^{m+1}},
para alguma constante C e m=\deg P_{n}. Pelo passo 2 a expressão do lado direito tende a 0 quando h\to 0. Logo o limite que define f^{(n+1)}(0) existe e vale 0.
Por indução concluímos que f possui derivadas de todas as ordens em 0 e que, para todo n\ge 0,
f^{(n)}(0)=0.
Dessa forma f é C^{\infty} (infinitamente diferenciável) em toda a reta, porque em x\neq 0 ela é composição de funções infinitamente diferenciáveis e em x=0 mostramos que todas as derivadas existem.

Passo 7

Agora tratamos a série de Maclaurin (série de Taylor centrada em 0) de f. A série de Maclaurin é
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^{n}.
Como mostramos no passo anterior, para todo n temos f^{(n)}(0)=0. Portanto todos os coeficientes são zero e a série de Maclaurin é a série identicamente zero:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^{n} = 0 \quad\text{(para todo \(x\))}.
Por outro lado, para x\neq 0 a função f(x)=e^{-1/x^{2}}>0. Logo a função não é igual à série (que é zero) exceto no ponto x=0, onde ambos valem 0.
Isso mostra que f coincide com sua série de Maclaurin somente em x=0.

Resposta

(a) f é C^{\infty} em \mathbb{R} e f^{(n)}(0)=0 para todo n\ge 0.\n(b) A série de Maclaurin de f é a série identicamente zero e coincide com f apenas em x=0.

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