Calcule as séries de Maclaurin das funções abaixo e seus respectivos raios de convergência. Discuta a convergència para a função dada. Sugestão: no último item, utilize a série binomial do exercício anterior.
f(x)=e^{x}+2 e^{-x}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f dada:
  1. Calcular a série de Maclaurin de f(x)=e^{x}+2 e^{-x}.
  2. Determinar o raio de convergência da série e discutir se a série converge para a própria função f.
Informações fornecidas:
f(x)=e^{x}+2 e^{-x}.

Passo 2

O que é série de Maclaurin e como calculamos?
A série de Maclaurin de uma função g é a expansão em série de potências centrada em 0, dada por
g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{g^{(n)}(0)}{n!}\,x^{n},
onde g^{(n)}(0) é a n-ésima derivada de g avaliada em 0. Na prática, para funções conhecidas (como e^{x}), usamos suas séries já conhecidas para acelerar o cálculo.
Exemplo conhecido que vamos usar: a série de Maclaurin de e^{x} é
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!},
e a de e^{-x} é obtida substituindo x por -x:
e^{-x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{n}}{n!}.

Passo 3

Aplicando as séries conhecidas à função f. Como f(x) é soma de e^{x} e 2e^{-x}, somamos as séries term a term:
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}, \qquad 2e^{-x}=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{n}}{n!}.
Somando:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x^{n}}{n!}+2\frac{(-1)^{n}x^{n}}{n!}\right) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1+2(-1)^{n}}{n!}\,x^{n}.

Passo 4

Interpretação dos coeficientes: para cada n,
a_{n}=\frac{1+2(-1)^{n}}{n!}.
Note a regularidade: se n é par, (-1)^{n}=1 e a_{n}=\dfrac{3}{n!}. Se n é ímpar, (-1)^{n}=-1 e a_{n}=\dfrac{-1}{n!}. Portanto podemos escrever a série separando termos pares e ímpares:
Para n=2k (pares):
\text{coeficiente}=\frac{3}{(2k)!},\quad \text{termo}=\frac{3\,x^{2k}}{(2k)!}.
Para n=2k+1 (ímpares):
\text{coeficiente}=\frac{-1}{(2k+1)!},\quad \text{termo}=-\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Assim uma forma bem explícita da série é
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{3\,x^{2k}}{(2k)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Ou, combinando em uma só soma em n,
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1+2(-1)^{n}}{n!}\,x^{n}.

Passo 5

Cálculo do raio de convergência. Podemos usar dois argumentos simples:
Argumento 1 (propriedade conhecida): as séries de e^{x} e de e^{-x} têm raio de convergência infinito (convergem para todo x\in\mathbb{R}). A soma de duas séries com raio \infty também tem raio \infty. Logo a série de f tem raio de convergência \infty.
Argumento 2 (teste da razão para a série \sum a_{n}x^{n} com a_{n}=(1+2(-1)^{n})/n!):
\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|\cdot|x| \le \frac{3/(n+1)!}{1/n!}\,|x|=\frac{3|x|}{n+1}\xrightarrow[n\to\infty]{}0
para todo x. Pelo teste da razão, a série converge para todo x. Portanto o raio de convergência é infinito.

Passo 6

Discussão da convergência para a função dada. Como cada termo vem das séries de e^{x} e e^{-x}, que convergem absolutamente e uniformemente em todo conjunto compacto, a soma das séries coincide com e^{x}+2e^{-x} para todo x. Outra maneira: f é uma função inteira (analítica em todo \mathbb{R}), então sua série de Taylor centrada em 0 converge para f(x) para todo x. Conclusão: a série de Maclaurin encontrada converge para f(x) para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1+2(-1)^{n}}{n!}\,x^{n}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{3\,x^{2k}}{(2k)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Raio de convergência: \displaystyle R=\infty.
A série converge para f(x) para todo x\in\mathbb{R}.

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