Ex. 8. Calcule as seguintes integrais de superficies:
\iint_{S}(\mathbf{F} \bullet \mathbf{n}) d S; S é a porção do cilindro x^{2}+z^{2}=r^{2}, x \geq 0, y \geq 0,0 \geq z \geq a e F=\operatorname{sen} z \mathbf{j}+x y \mathbf{j}-\cos z \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do fluxo
\iint_{S}(\mathbf{F}\cdot\mathbf{n})\,dS
sobre a parte do cilindro x^{2}+z^{2}=r^{2} sujeita às condições x\ge0, y\ge0 e 0\ge z\ge a, com o campo
\mathbf{F}=\sin z\,\mathbf{i}+x y\,\mathbf{j}-\cos z\,\mathbf{k}.

Passo 2

Para que esse fluxo seja finito, é preciso saber até onde varia y. No enunciado aparece apenas “ y\ge0” sem limite superior. Como o cilindro se estende sem fim nessa direção, sua área seria infinita e, como a componente normal de \mathbf{F} não depende de y, o fluxo resultaria em divergência (infinito).

Passo 3

Sem um valor máximo para y (ou outra restrição equivalente), a região S tem área infinita e o fluxo \iint_{S}(\mathbf{F}\cdot\mathbf{n})\,dS não pode ser avaliado de forma finita.

Resposta

Não é possível calcular o fluxo sem a delimitação de y; a informação está em falta no enunciado.

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