Resolva a equação logarítmica.
a) log 2(x+3)=3
b) log 3(2-x)=3
c) log x 16=2
d) ln x+ln (x-1)=ln (x+3)

Passo 1

Resumo: o exercício pede a resolução de quatro equações logarítmicas (itens a, b, c e d). Para isso vamos usar a definição loga b = c iff a^c = b, a propriedade de soma de logaritmos e sempre verificar o domínio (os argumentos dos logaritmos devem ser positivos e a base deve ser positiva e diferente de 1).

Passo 2

Para o item a) aplicamos log2(x+3)=3iff x+3=2^3=8, de onde x=5. Verificamos o domínio x+3>0, que dá 5+3>0, ok.

Passo 3

Para o item b) temos log3(2-x)=3iff 2-x=3^3=27, logo x=2-27=-25. Verificamos o domínio 2-x>0, ou seja -25<2, ok.

Passo 4

Para o item c) logx16=2 implica x^2=16, portanto x=pm4. Como a base x deve ser positiva e diferente de 1, a única solução válida é x=4.

Passo 5

Para o item d) usamos a propriedade ln a+ln b=ln(ab), logo:
ln x + ln(x-1) = lnl(x(x-1)r)
Assim a equação ln x+ln(x-1)=ln(x+3) vira ln(x(x-1))=ln(x+3), implicando
x(x-1)=x+3 Longrightarrow x^2-2x-3=0
Resolvendo x=2pmraiz4+122=3 ou -1. No domínio de ln precisamos x>0 e x-1>0 (ou seja x>1), restando x=3.

Resposta

a) x = 5; b) x = -25; c) x = 4; d) x = 3

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