Encontre todas as soluções da equação no intervalo [0,2 pi).
a) 2 cos x-1=0
b) 2 sin ^2 x-sin x-1=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as soluções de duas equações trigonométricas no intervalo [0,2pi). Vamos usar conhecimentos sobre a função cosseno e seno no círculo trigonométrico e, no caso da segunda equação, também resolver uma quadrática em sin x.

Passo 2

Para a equação 2cos x - 1 = 0 basta isolar cos x:
2cos x - 1 = 0 implies cos x = tfrac12
No círculo trigonométrico, cos x = tfrac12 ocorre nos quadrantes I e IV. Assim:
x = pi3ou x = 2pi - pi3 = 5pi3

Passo 3

Para a equação 2sin^2 x - sin x - 1 = 0 fazemos a substituição u = sin x, obtendo a quadrática:
2u^2 - u - 1 = 0
Resolvendo por Bhaskara:
u = 1 pm raiz1 + 84 = 1 pm 34,
logo u = 1 ou u = -tfrac12. Voltando para x:
  • Se sin x = 1, temos x = tfracpi2 no intervalo dado.
  • Se sin x = -tfrac12, o seno negativo aparece nos quadrantes III e IV, gerando
x = pi + pi6 = 7pi6, x = 2pi - pi6 = 11pi6

Resposta

a) x = \frac{\pi}{3}, ; \frac{5\pi}{3}
b) x = \frac{\pi}{2}, ; \frac{7\pi}{6}, ; \frac{11\pi}{6}

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