Calcule
\sin \left(45^{\circ}\right) \cos \left(45^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de \sin\left(45^\circ\right)\cos\left(45^\circ\right). Não há outros dados além do ângulo \,45^\circ.

Passo 2

Primeiro jeito (triângulo retângulo isósceles): considere um triângulo retângulo isósceles com os catetos de comprimento 1. Nesse triângulo os catetos são iguais porque os ângulos agudos são ambos 45^\circ. Pelo teorema de Pitágoras, a hipotenusa vale
\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.
No triângulo, a definição de seno e cosseno para 45^\circ é:
\sin\left(45^\circ\right)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{1}{\sqrt{2}}, \qquad \cos\left(45^\circ\right)=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Racionalizando a fração 1/\sqrt{2} (multiplicando numerador e denominador por \sqrt{2}) obtemos a forma usual:
\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Portanto
\sin\left(45^\circ\right)=\cos\left(45^\circ\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Agora calculamos o produto usando esses valores:
\sin\left(45^\circ\right)\cos\left(45^\circ\right)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.

Passo 3

Segundo jeito (identidade trigonométrica, atalho útil na prova): a partir da fórmula da soma de ângulos para seno,
\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b,
colocando a=b=x vem
\sin(2x)=2\sin x\cos x,
ou seja
\sin x\cos x=\tfrac{1}{2}\sin(2x).
Aplicando x=45^\circ,
\sin\left(45^\circ\right)\cos\left(45^\circ\right)=\tfrac{1}{2}\sin\left(90^\circ\right)=\tfrac{1}{2}\cdot 1=\tfrac{1}{2},
confirmando o resultado obtido pelo triângulo.

Passo 4

Dica prática: para produtos \sin x\cos x na prova, use direto \sin x\cos x=\tfrac{1}{2}\sin(2x) — economiza tempo e evita cálculo de raízes.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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