Calcule
\sin 60^{\circ} \cdot \cos 30^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o produto \sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ.
Informações dadas (explicitamente pelo enunciado): os ângulos envolvidos são 60^\circ e 30^\circ.
Objetivo: encontrar numericamente o valor de \sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ.

Passo 2

Vou obter valores exatos de \sin 60^\circ e \cos 30^\circ usando o triângulo retângulo especial 30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ.
Construção rápida (método clássico): considere um triângulo equilátero de lado 2. Ao traçar a altura, obtém-se dois triângulos retângulos congruentes com ângulos 30^\circ e 60^\circ, hipotenusa 2, cateto menor 1 (metade da base) e cateto maior igual à altura. A altura vale \sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}. Portanto no triângulo retângulo:
  • o cateto oposto a 60^\circ tem medida \sqrt{3};
  • a hipotenusa tem medida 2;
  • o cateto adjacente a 60^\circ tem medida 1.

Passo 3

Definições trigonométricas numa reta: em um triângulo retângulo, \sin de um ângulo é o cateto oposto dividido pela hipotenusa; \cos é o cateto adjacente dividido pela hipotenusa. Aplicando ao caso:
\sin 60^\circ = \frac{\text{cateto oposto a }60^\circ}{\text{hipotenusa}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.
\cos 30^\circ = \frac{\text{cateto adjacente a }30^\circ}{\text{hipotenusa}}.
No triângulo 30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ o cateto adjacente a 30^\circ é também \sqrt{3} (pois é o cateto oposto a 60^\circ), então
\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Agora multiplico os dois valores encontrados:
\sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right).
Calculo o produto:
\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{(\sqrt{3})^2}{2\cdot2} = \frac{3}{4}.

Passo 5

(Outra forma — identidade — só para reforçar: existe a identidade \sin x\cos y=\tfrac{1}{2}\big(\sin(x+y)+\sin(x-y)\big). Aplicando com x=60^\circ e y=30^\circ \tfrac{1}{2}(\sin 90^\circ+\sin 30^\circ)=\tfrac{1}{2}(1+\tfrac{1}{2})=\tfrac{3}{4}, mesmo resultado.)

Resposta

\dfrac{3}{4}

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