Calcule
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a expressão
.
Informações dadas: é um produto entre seno e cosseno com argumentos lineares em . O objetivo é reescrever esse produto numa forma mais simples ou mais útil (por exemplo, como soma de funções trigonométricas).
Informações dadas: é um produto entre seno e cosseno com argumentos lineares em
Passo 2
Apresentar a fórmula de soma e diferença para o seno (vamos usá‑las para transformar produto em soma). Para quaisquer ângulos
e
vale:
Aqui
e
representam ângulos genéricos;
e
são as funções trigonométricas seno e cosseno. Essas fórmulas são usadas para expressar seno de soma ou diferença em termos de produtos de seno e cosseno.
Passo 3
Somando as duas fórmulas acima obtemos (faça a conta termo a termo):
Ao simplificar, os termos com
cancelam, sobrando
Isolando o produto
vem a identidade produto‑para‑soma:
Essa identidade é muito útil: transforma produto de seno e cosseno numa soma de senos.
Passo 4
Aplicar a identidade com
e
. Calcule os somas e diferenças dos argumentos:
Substituindo na identidade:
Passo 5
Escrever o resultado de forma expandida, se preferir:
Uma verificação rápida: para
ambos os lados valem
, então não há contradição óbvia.