Calcule
\sin 5 x \cos 3 x

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a expressão \sin 5x \cos 3x.
Informações dadas: é um produto entre seno e cosseno com argumentos lineares em x. O objetivo é reescrever esse produto numa forma mais simples ou mais útil (por exemplo, como soma de funções trigonométricas).

Passo 2

Apresentar a fórmula de soma e diferença para o seno (vamos usá‑las para transformar produto em soma). Para quaisquer ângulos A e B vale:
\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B
\sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B
Aqui A e B representam ângulos genéricos; \sin e \cos são as funções trigonométricas seno e cosseno. Essas fórmulas são usadas para expressar seno de soma ou diferença em termos de produtos de seno e cosseno.

Passo 3

Somando as duas fórmulas acima obtemos (faça a conta termo a termo):
\sin(A+B)+\sin(A-B)=(\sin A\cos B+\cos A\sin B)+(\sin A\cos B-\cos A\sin B).
Ao simplificar, os termos com \cos A\sin B cancelam, sobrando
\sin(A+B)+\sin(A-B)=2\sin A\cos B.
Isolando o produto \sin A\cos B vem a identidade produto‑para‑soma:
\sin A\cos B=\tfrac{1}{2}\bigl(\sin(A+B)+\sin(A-B)\bigr).
Essa identidade é muito útil: transforma produto de seno e cosseno numa soma de senos.

Passo 4

Aplicar a identidade com A=5x e B=3x. Calcule os somas e diferenças dos argumentos:
A+B=5x+3x=8x,\qquad A-B=5x-3x=2x.
Substituindo na identidade:
\sin 5x\cos 3x=\tfrac{1}{2}\bigl(\sin 8x+\sin 2x\bigr).

Passo 5

Escrever o resultado de forma expandida, se preferir:
\sin 5x\cos 3x=\tfrac{1}{2}\sin 8x+\tfrac{1}{2}\sin 2x.
Uma verificação rápida: para x=0 ambos os lados valem 0, então não há contradição óbvia.

Resposta

\tfrac{1}{2}\bigl(\sin 8x+\sin 2x\bigr)

Exercícios relacionados