Calcule o sinal das permutações abaixo:
\left(\begin{array}{lllll}5 & 4 & 1 & 2 & 3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a permutação \pi = (5\;4\;1\;2\;3) escrita em notação “one-line” (ou seja, \pi(1)=5, \pi(2)=4, \pi(3)=1, \pi(4)=2, \pi(5)=3). A pergunta é: qual é o sinal dessa permutação?

Passo 2

Definição útil (muito usada em provas): uma inversão de uma permutação \pi é um par de índices (i,j) com i<j e \pi(i)>\pi(j). O número total de inversões determina o sinal: a permutação é par se o número de inversões for par e ímpar se o número de inversões for ímpar. Em fórmulas:
\operatorname{sgn}(\pi)=(-1)^{\#\{\text{inversões de }\pi\}}.õ
Explicação curta do porquê (intuição): cada troca de dois elementos adjacentes altera o número de inversões em exatamente 1; portanto a paridade do número de inversões corresponde à paridade do número de transposições necessárias para montar a permutação, e isso é justamente o sinal.
Exemplo simples para fixar a ideia: para (2\;1\;3) temos uma inversão (1,2) porque 2>1, logo uma inversão \Rightarrow sinal =(-1)^1=-1.

Passo 3

Vamos contar inversões em \pi=(5\;4\;1\;2\;3). Primeiro escrevo os valores com seus índices:
\pi(1)=5,\quad \pi(2)=4,\quad \pi(3)=1,\quad \pi(4)=2,\quad \pi(5)=3.
Agora, para cada i conto quantos j>i têm \pi(i)>\pi(j).
  • Para i=1 (valor \pi(1)=5): compare com \pi(2)=4,\\ \pi(3)=1,\\ \pi(4)=2,\\ \pi(5)=3. Todas são menores que 5, então há 4 inversões: (1,2),(1,3),(1,4),(1,5).
  • Para i=2 (valor \pi(2)=4): compare com \pi(3)=1,\\ \pi(4)=2,\\ \pi(5)=3. Todas são menores que 4, então há 3 inversões: (2,3),(2,4),(2,5).
  • Para i=3 (valor \pi(3)=1): compare com \pi(4)=2,\\ \pi(5)=3. Ambos são maiores, então 0 inversões.
  • Para i=4 (valor \pi(4)=2): compare com \pi(5)=3. 2<3, então 0 inversões.
Somando:
\#\text{inversões}=4+3+0+0=7.õ
Como 7 é ímpar, pelo passo anterior temos
\operatorname{sgn}(\pi)=(-1)^7=-1.

Passo 4

Verificação alternativa (útil para provas): decompor em ciclos e usar que um ciclo de comprimento k equivale a k-1 transposições, então o sinal é (-1)^{\sum (k_i-1)}.
Decompondo \pi em ciclos seguindo as imagens:
1\mapsto5,\;5\mapsto3,\;3\mapsto1 \quad\Rightarrow\quad (1\\\ 5\\\ 3)
2\mapsto4,\;4\mapsto2 \quad\Rightarrow\quad (2\\\ 4)
Logo a decomposição é (1\\\ 5\\\ 3)(2\\\ 4), com comprimentos 3 e 2. O número total de transposições equivalente é (3-1)+(2-1)=2+1=3. Assim
\operatorname{sgn}(\pi)=(-1)^3=-1,
que confirma o resultado do método das inversões.

Passo 5

Conclusão e interpretação: o número de inversões é 7 (ímpar), portanto a permutação é ímpar e seu sinal é -1.

Resposta

-1 (permuta\c{c}~ao ímpar)

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