Calcule o sinal das permutações abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a permutação
escrita em notação “one-line” (ou seja,
,
,
,
,
). A pergunta é: qual é o sinal dessa permutação?
Passo 2
Definição útil (muito usada em provas): uma inversão de uma permutação
é um par de índices
com
e
. O número total de inversões determina o sinal: a permutação é par se o número de inversões for par e ímpar se o número de inversões for ímpar. Em fórmulas:
Explicação curta do porquê (intuição): cada troca de dois elementos adjacentes altera o número de inversões em exatamente
; portanto a paridade do número de inversões corresponde à paridade do número de transposições necessárias para montar a permutação, e isso é justamente o sinal.
Exemplo simples para fixar a ideia: para
temos uma inversão
porque
, logo uma inversão
sinal
.
Passo 3
Vamos contar inversões em
. Primeiro escrevo os valores com seus índices:
Agora, para cada
conto quantos
têm
.
-
Para
(valor ): compare com . Todas são menores que , então há inversões: . -
Para
(valor ): compare com . Todas são menores que , então há inversões: . -
Para
(valor ): compare com . Ambos são maiores, então inversões. -
Para
(valor ): compare com . , então inversões.
Somando:
Como
é ímpar, pelo passo anterior temos
Passo 4
Verificação alternativa (útil para provas): decompor em ciclos e usar que um ciclo de comprimento
equivale a
transposições, então o sinal é
.
Decompondo
em ciclos seguindo as imagens:
Logo a decomposição é
, com comprimentos
e
. O número total de transposições equivalente é
. Assim
que confirma o resultado do método das inversões.
Passo 5
Conclusão e interpretação: o número de inversões é
(ímpar), portanto a permutação é ímpar e seu sinal é
.