Informações relevantes: temos uma matriz 4\times4 com entradas inteiras e queremos \det(A). Vou usar operações elementares de linha e a definição do determinante de uma matriz 3\times3 quando necessário.
Passo 2
Regra útil (ensinando devagar): quando você substitui uma linha por ela mesma mais um múltiplo de outra linha, o determinante não muda. Isso é ótimo para gerar zeros e facilitar o cálculo. Vou usar essa operação para zerar as entradas abaixo de a_{11}=1 (primeira coluna), assim poderei expandir o determinante pela primeira coluna facilmente.
Executando as operações (sem alterar o determinante):
e lembrando: como usei apenas operações do tipo R_i \leftarrow R_i + kR_j, o determinante continuou o mesmo.
Passo 4
Agora que as três entradas abaixo de a_{11} são zero, posso calcular \det(A) expandindo pela primeira coluna. A expansão por cofactor ao longo da primeira coluna dá
\det(A) = 1\cdot\det(B),
onde B é a submatriz 3\times3 obtida removendo a primeira linha e a primeira coluna: