Calcule o determinante de A, onde:
A=\left[\begin{array}{llll} 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 4 & 3 & 2 & 1 \\\\ 1 & 4 & 2 & 3 \\\\ 3 & 2 & 4 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz A, onde
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 4 & 3 & 2 & 1 \\\\ 1 & 4 & 2 & 3 \\\\ 3 & 2 & 4 & 1 \end{pmatrix}.
Informações relevantes: temos uma matriz 4\times4 com entradas inteiras e queremos \det(A). Vou usar operações elementares de linha e a definição do determinante de uma matriz 3\times3 quando necessário.

Passo 2

Regra útil (ensinando devagar): quando você substitui uma linha por ela mesma mais um múltiplo de outra linha, o determinante não muda. Isso é ótimo para gerar zeros e facilitar o cálculo. Vou usar essa operação para zerar as entradas abaixo de a_{11}=1 (primeira coluna), assim poderei expandir o determinante pela primeira coluna facilmente.
Executando as operações (sem alterar o determinante):
\begin{aligned} R_2 &\leftarrow R_2 - 4R_1,\\\ R_3 &\leftarrow R_3 - R_1,\\\ R_4 &\leftarrow R_4 - 3R_1. \end{aligned}

Passo 3

Aplicando as contas linha a linha:
R_2 - 4R_1:
(4,3,2,1) - 4(1,2,3,4) = (4-4,\;3-8,\;2-12,\;1-16) = (0,\,-5,\,-10,\,-15).
R_3 - R_1:
(1,4,2,3) - (1,2,3,4) = (0,\;2,\,-1,\,-1).
R_4 - 3R_1:
(3,2,4,1) - 3(1,2,3,4) = (0,\; -4,\; -5,\; -11).
Então a matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 0 & -5 & -10 & -15 \\\\ 0 & 2 & -1 & -1 \\\\ 0 & -4 & -5 & -11 \end{pmatrix},
e lembrando: como usei apenas operações do tipo R_i \leftarrow R_i + kR_j, o determinante continuou o mesmo.

Passo 4

Agora que as três entradas abaixo de a_{11} são zero, posso calcular \det(A) expandindo pela primeira coluna. A expansão por cofactor ao longo da primeira coluna dá
\det(A) = 1\cdot\det(B),
onde B é a submatriz 3\times3 obtida removendo a primeira linha e a primeira coluna:
B = \begin{pmatrix} -5 & -10 & -15 \\\\ 2 & -1 & -1 \\\\ -4 & -5 & -11 \end{pmatrix}.

Passo 5

Agora vou calcular \det(B). Para matrizes 3\times3 existe uma fórmula direta (vou usar a forma padrão, equivalente a Sarrus). Se
B=\begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{pmatrix},
então
\det(B) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg).
No nosso caso, identificamos
a=-5,\quad b=-10,\quad c=-15,
d=2,\quad e=-1,\quad f=-1,
g=-4,\quad h=-5,\quad i=-11.

Passo 6

Calculemos cada termo da fórmula com calma:
  1. Primeiro termo:
a(ei - fh) = -5\big((-1)(-11) - (-1)(-5)\big).
Calcule o que está entre parênteses:
(-1)(-11)=11,\qquad (-1)(-5)=5,\qquad 11-5=6.
Logo
a(ei - fh) = -5\cdot 6 = -30.
  1. Segundo termo:
- b(di - fg) = -(-10)\big(2\cdot(-11) - (-1)\cdot(-4)\big).
Calcule o parênteses:
2\cdot(-11) = -22,\qquad (-1)\cdot(-4)=4,\qquad -22-4 = -26.
Então
- b(di - fg) = +10\cdot(-26) = -260.
  1. Terceiro termo:
c(dh - eg) = -15\big(2\cdot(-5) - (-1)\cdot(-4)\big).
Calcule:
2\cdot(-5)=-10,\qquad (-1)\cdot(-4)=4,\qquad -10-4=-14.
Logo
c(dh - eg) = -15\cdot(-14) = 210.

Passo 7

Somando os três termos para obter \det(B):
\det(B) = -30 + (-260) + 210 = -80.
Portanto, voltando à relação do Passo 4,
\det(A) = 1\cdot\det(B) = -80.

Resposta

-80

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