Calcule o sinal das permutações abaixo:
\left(\begin{array}{llll}4 & 1 & 3 & 2\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular o sinal da permutação dada em notação de uma linha
\left(\begin{array}{llll}4 & 1 & 3 & 2\end{array}\right).
Informações relevantes que temos: a permutação está apresentada na forma "imagem de 1,2,3,4" — isto é, o elemento 1 vai para 4, 2 vai para 1, 3 vai para 3 e 4 vai para 2. A pergunta é: qual é o sinal dessa permutação (ou seja, ela é par ou ímpar; equivalente, o valor +1 ou -1).

Passo 2

O que é o sinal de uma permutação? Vou explicar de um jeito direto e útil para prova:
  • Uma maneira prática de obter o sinal é contar o número de inversões da permutação.
  • Definição de inversão: dado o vetor da permutação (a_1,a_2,\dots,a_n), um par (i,j) com i<j é uma inversão se a_i>a_j.
  • Fórmula para o sinal: se N é o número total de inversões, então o sinal da permutação é (-1)^N. Se N for par, o sinal é +1 (permutação par). Se N for ímpar, o sinal é -1 (permutação ímpar).
    Eu vou aplicar esse método porque é direto e dá pra fazer sem calculadora, contando pares.

Passo 3

Escrevendo a permutação como sequência dos valores:
(4,1,3,2).
Agora listamos todos os pares (i,j) com i<j e verificamos se formam inversão (ou seja, se o primeiro número é maior que o segundo):
  • Par (1,2): compara 4 e 1. Como 4>1, é inversão. (par (4,1))
  • Par (1,3): compara 4 e 3. Como 4>3, é inversão. (par (4,3))
  • Par (1,4): compara 4 e 2. Como 4>2, é inversão. (par (4,2))
  • Par (2,3): compara 1 e 3. Como 1\not>3, não é inversão.
  • Par (2,4): compara 1 e 2. Como 1\not>2, não é inversão.
  • Par (3,4): compara 3 e 2. Como 3>2, é inversão. (par (3,2))

Passo 4

Contando as inversões achadas: temos exatamente 4 inversões (são as devidos aos pares (4,1), (4,3), (4,2), (3,2)).
Como N=4 é par, o sinal é
(-1)^4 = +1.

Passo 5

Como verificação alternativa (útil na prova para checar): faça a decomposição em ciclos. Interpretando a permutação como aplicação
1\mapsto4,\quad 2\mapsto1,\quad 3\mapsto3,\quad 4\mapsto2,
obtemos os ciclos:
(1\;4\;2)\quad\text{e}\quad(3).
  • Um ciclo de comprimento k tem sinal (-1)^{k-1}. O ciclo (1\;4\;2) tem k=3, então sinal (-1)^{2}=+1. O ciclo fixo (3) tem k=1 e sinal (-1)^0=+1. O produto dos sinais dos ciclos dá o sinal total +1. Isso confirma o resultado pelo método das inversões.

Passo 6

Resumo final do raciocínio: pelo método das inversões contei 4 inversões (par), logo a permutação é par e tem sinal +1. A verificação por ciclo também dá sinal +1. Força aí — você já sabe duas maneiras de checar na prova!

Resposta

par, sinal +1

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