Calcule o sinal das permutações abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: calcular o sinal da permutação dada em notação de uma linha
Informações relevantes que temos: a permutação está apresentada na forma "imagem de
" — isto é, o elemento
vai para
,
vai para
,
vai para
e
vai para
. A pergunta é: qual é o sinal dessa permutação (ou seja, ela é par ou ímpar; equivalente, o valor
ou
).
Passo 2
O que é o sinal de uma permutação? Vou explicar de um jeito direto e útil para prova:
- Uma maneira prática de obter o sinal é contar o número de inversões da permutação.
- Definição de inversão: dado o vetor da permutação
, um par com é uma inversão se . - Fórmula para o sinal: se
é o número total de inversões, então o sinal da permutação é . Se for par, o sinal é (permutação par). Se for ímpar, o sinal é (permutação ímpar).
Eu vou aplicar esse método porque é direto e dá pra fazer sem calculadora, contando pares.
Passo 3
Escrevendo a permutação como sequência dos valores:
Agora listamos todos os pares
com
e verificamos se formam inversão (ou seja, se o primeiro número é maior que o segundo):
- Par
: compara e . Como , é inversão. (par ) - Par
: compara e . Como , é inversão. (par ) - Par
: compara e . Como , é inversão. (par ) - Par
: compara e . Como , não é inversão. - Par
: compara e . Como , não é inversão. - Par
: compara e . Como , é inversão. (par )
Passo 4
Contando as inversões achadas: temos exatamente
inversões (são as devidos aos pares
).
Como é par, o sinal é
Como
Passo 5
Como verificação alternativa (útil na prova para checar): faça a decomposição em ciclos. Interpretando a permutação como aplicação
obtemos os ciclos:
- Um ciclo de comprimento
tem sinal . O ciclo tem , então sinal . O ciclo fixo tem e sinal . O produto dos sinais dos ciclos dá o sinal total . Isso confirma o resultado pelo método das inversões.
Passo 6
Resumo final do raciocínio: pelo método das inversões contei
inversões (par), logo a permutação é par e tem sinal
. A verificação por ciclo também dá sinal
. Força aí — você já sabe duas maneiras de checar na prova!
Resposta
par, sinal