Calcule a solubilidade de \mathrm{PbSO}_{4}\left(K_{\text {ps }}=1,6 \times 10^{-8}\right) em:
solução de \mathrm{Pb}\left(\mathrm{NO}_{3}\right)_{2} 0,20 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}{ }^{-1}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a solubilidade do sulfato de chumbo(II) a partir do produto de solubilidade dado, quando o sal está em uma solução que já contém \mathrm{Pb(NO_3)_2} com concentração 0,20\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Dados fornecidos:
K_{\text{ps}}(\mathrm{PbSO_4}) = 1,6\times10^{-8}
[\mathrm{Pb^{2+}}]_{\text{inicial\,(de\;} \mathrm{Pb(NO_3)_2})} = 0,20\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}
O que eu tenho que achar: a solubilidade s de \mathrm{PbSO_4} em mol·L ^{-1} nessa solução.

Passo 2

Escrevendo a reação de dissolução e definindo a solubilidade s:
A dissolução sólida é
\mathrm{PbSO_4(s)} \rightleftharpoons \mathrm{Pb^{2+}(aq)} + \mathrm{SO_4^{2-}(aq)}
Definimos s como a concentração de \mathrm{SO_4^{2-}} liberada quando uma quantidade de \mathrm{PbSO_4} se dissolve (em mol·L ^{-1}). Para cada mol de \mathrm{PbSO_4} que se dissolve, gera-se 1 mol de \mathrm{Pb^{2+}} e 1 mol de \mathrm{SO_4^{2-}}. Portanto, num sistema sem outros íons, teríamos:
[\mathrm{Pb^{2+}}] = s,\qquad [\mathrm{SO_4^{2-}}] = s.
Mas aqui há um íon comum: a solução já contém \mathrm{Pb^{2+}} de \mathrm{Pb(NO_3)_2}. Assim, as concentrações no equilíbrio são:
[\mathrm{Pb^{2+}}]_{\text{eq}} = 0,20 + s
[\mathrm{SO_4^{2-}}]_{\text{eq}} = s

Passo 3

Escrevendo a expressão do produto de solubilidade K_{\text{ps}}:
Por definição,
K_{\text{ps}} = [\mathrm{Pb^{2+}}]\,[\mathrm{SO_4^{2-}}].
Substituindo as concentrações de equilíbrio:
1,6\times10^{-8} = (0,20 + s)\,s.
Isso gera a equação a resolver para s:
s(0,20 + s) = 1,6\times10^{-8}.

Passo 4

Simplificação por aproximação (efeito do íon comum):
Normalmente, quando há uma concentração inicial grande do íon comum, espera-se que s seja muito pequena comparada a 0,20. Então podemos testar a aproximação 0,20 + s \approx 0,20. Usando essa aproximação:
1,6\times10^{-8} \approx 0,20\cdot s.
Isolando s:
s \approx \frac{1,6\times10^{-8}}{0,20}.
Calculando:
s \approx 8,0\times10^{-8}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 5

Verificação da aproximação (checar se s é realmente muito menor que 0,20):
Calculamos a razão
\frac{s}{0,20} = \frac{8,0\times10^{-8}}{0,20} = 4,0\times10^{-7}.
Isso é muito menor que 5\% (critério comum para validar a aproximação), logo a aproximação é perfeitamente válida e a solução encontrada é confiável.

Passo 6

Solução exata por fórmula quadrática (para confirmar):
A equação exata é
s^2 + 0,20\,s - 1,6\times10^{-8} = 0.
Usando a fórmula de Bhaskara para a raiz positiva:
s = \frac{-0,20 + \sqrt{(0,20)^2 + 4\cdot 1\cdot 1,6\times10^{-8}}}{2}.
Calculando o discriminante:
(0,20)^2 + 4\cdot 1,6\times10^{-8} = 0,040000064.
\sqrt{0,040000064}\approx 0,20000016.
Então
s \approx \frac{-0,20 + 0,20000016}{2} = \frac{1,6\times10^{-7}}{2} = 8,0\times10^{-8}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Confirma-se a solução aproximada anterior.

Resposta

s = 8,0\times10^{-8}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}

Exercícios relacionados