Calcule os valores de \mathrm{H}^{+}, \mathrm{OH}^{-}, \mathrm{pH} e pOH de uma solução de ácido forte HCl de concentração. Observação: na questão (e) não se deve usar aproximações.
0,00100 \mathrm{~mol} \mathrm{L}^{-1}

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado:
  • Pede-se calcular as concentrações de \mathrm{H}^{+} e \mathrm{OH}^{-}, e os valores de \mathrm{pH} e \mathrm{pOH} de uma solução de ácido forte HCl com concentração dada.
  • Dado: a concentração do ácido forte é \;0,00100\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}. Vou chamar essa concentração de C, ou seja
C = 0,00100\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
  • Observação do enunciado: “na questão (e) não se deve usar aproximações” — portanto eu vou tratar exatamente a contribuição da autoionização da água (não vou desprezar o equilíbrio da água).
  • Constante de ionização da água à 25^\circ\mathrm{C} (valor padrão que usamos aqui):
K_w = 1{,}00\times10^{-14}.

Passo 2

Entendendo fisicamente e definindo incógnitas (passo didático):
  • HCl é um ácido forte: ele se dissocia totalmente, cada mol de HCl fornece 1 mol de \mathrm{H}^+. Contudo, a água também se ioniza muito pouco:
\mathrm{H_2O} \rightleftharpoons \mathrm{H}^+ + \mathrm{OH}^-.
  • Se eu chamar de x a concentração de \mathrm{OH}^- originada (ou, mais precisamente, o valor de [\mathrm{OH}^-] no equilíbrio), então a autoionização da água também gera x de \mathrm{H}^+ (porque cada evento produz um par).
  • Como já existe \mathrm{H}^+ proveniente do ácido (quantidade C), a concentração total de \mathrm{H}^+ no equilíbrio será
[\mathrm{H}^+] = C + x.
  • A relação fundamental da água é
K_w = [\mathrm{H}^+][\mathrm{OH}^-].
  • Substituindo [\mathrm{H}^+] = C + x e [\mathrm{OH}^-]=x obtemos a equação que determina x sem aproximações:
(C + x)\,x = K_w.

Passo 3

Transformando em equação algébrica (montagem do polinômio)
  • Desenvolvendo a equação anterior:
x^2 + Cx - K_w = 0.
  • Esta é uma equação quadrática na incógnita x. Para resolver usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Lembrando que escolhemos a raiz positiva porque x é uma concentração (tem que ser \ge 0).
  • A solução positiva é
x = \frac{-C + \sqrt{C^2 + 4K_w}}{2}.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos na fórmula e calculando x passo a passo
  • Primeiro calcule C^2 e 4K_w:
C^2 = (0,00100)^2 = 1{,}0000\times10^{-6},
4K_w = 4 \times 1{,}00\times10^{-14} = 4{,}00\times10^{-14}.
  • Soma dentro da raiz:
C^2 + 4K_w = 1{,}0000\times10^{-6} + 4{,}00\times10^{-14} = 1{,}00000004\times10^{-6}.
  • Raiz quadrada:
\sqrt{C^2 + 4K_w} = \sqrt{1{,}00000004\times10^{-6}} \approx 1{,}00000002\times10^{-3}.
  • Agora aplicando a fórmula:
x = \frac{-0{,}00100 + 0{,}00100000002}{2} = \frac{0{,}00000000002}{2} = 1{,}000000000\times10^{-11}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
  • Conclusão deste passo: a concentração de \mathrm{OH}^- no equilíbrio é
[\mathrm{OH}^-] = x \approx 1{,}000000000\times10^{-11}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 5

Calculando [\mathrm{H}^+] exatamente (soma da contribuição do ácido e da água)
  • Lembre que [\mathrm{H}^+] = C + x. Substituindo:
[\mathrm{H}^+] = 0{,}00100 + 1{,}000000000\times10^{-11} = 0{,}00100000000001\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
  • Em notação científica:
[\mathrm{H}^+] = 1{,}00000000001\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 6

Definições de \mathrm{pH} e \mathrm{pOH} e aplicação das fórmulas (aula rápida)
  • Definição de \mathrm{pH}:
\mathrm{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H}^+].
  • Definição de \mathrm{pOH}:
\mathrm{pOH} = -\log_{10}[\mathrm{OH}^-].
  • Relação entre \mathrm{pH} e \mathrm{pOH} 25^\circ\mathrm{C}):
\mathrm{pH} + \mathrm{pOH} = \mathrm{p}K_w = 14{,}00.
  • Vou calcular ambos diretamente a partir das concentrações obtidas (sem aproximar a contribuição da água).

Passo 7

Cálculo numérico de \mathrm{pH}
  • Usando [\mathrm{H}^+] = 1{,}00000000001\times10^{-3}, temos
\mathrm{pH} = -\log_{10}\bigl(1{,}00000000001\times10^{-3}\bigr).
  • Usamos a propriedade do logaritmo \log_{10}(a\times10^{b})=\log_{10}a + b:
\mathrm{pH} = -\bigl(\log_{10}(1{,}00000000001) - 3\bigr) = 3 - \log_{10}(1{,}00000000001).
  • Para um fator muito próximo de 1 podemos avaliar \log_{10}(1+\varepsilon)\approx \varepsilon/\ln 10 com \varepsilon muito pequeno; aqui \varepsilon \approx 1{,}0\times10^{-11}. Calculando numericamente:
\log_{10}(1{,}00000000001)\approx 4{,}342944819\times10^{-12},
portanto
\mathrm{pH} \approx 3 - 4{,}342944819\times10^{-12} = 2{,}999999999995657.

Passo 8

Cálculo numérico de \mathrm{pOH}
  • Usando [\mathrm{OH}^-] = 1{,}000000000\times10^{-11},
\mathrm{pOH} = -\log_{10}\bigl(1{,}000000000\times10^{-11}\bigr) = 11 - \log_{10}(1{,}000000000).
  • Como \log_{10}(1{,}000000000) é praticamente zero (ordem 10^{-10} ou menor), obtemos numericamente
\mathrm{pOH} \approx 11{,}000000000004343
(se quisermos manter coerência com \mathrm{pH} + \mathrm{pOH} = 14, podemos calcular \mathrm{pOH} = 14{,}00 - \mathrm{pH} \approx 11{,}000000000004343).

Passo 9

Interpretação prática e arredondamentos apropriados
  • Observação prática: a contribuição da água é extremamente pequena frente a C=0{,}00100, por isso [\mathrm{H}^+] praticamente coincide com C. Mas como a instrução proibiu aproximações, nós incluímos a pequena correção pelo equilíbrio da água.
  • Em notação com algarismos mostrados para deixar claro a exatidão obtida, os valores calculados foram os do Passo 5, Passo 4 e Passos 7–8 acima. Você pode arredondar para o número de algarismos significativos que quiser; o enunciado original trouxe C com quatro algarismos significativos ( 0{,}00100), então mostrar resultados com precisão compatível é aceitável.

Resposta

[\mathrm{H}^+] = 1{,}00000000001\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}
[\mathrm{OH}^-] = 1{,}000000000\times10^{-11}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}
\mathrm{pH} = 2{,}999999999995657
\mathrm{pOH} = 11{,}000000000004343

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