Calcule a solubilidade molar do acetato de prata a 25^{\circ} \mathrm{C} em:
Solução tamponada em pH igual a 2 \cdot
( Dado Kps \_\{\mathrm{AgAc}\}=4 \times 10^{-3} ; \mathrm{K}\_{\mathrm{aHac}}=1,8 \times 10^{-5})

Passo 1

O que o problema pede e os dados fornecidos.\n
  • Pede: calcular a solubilidade molar do acetato de prata numa solução tamponada com pH igual a 2. Ou seja, queremos a concentração molar s de \mathrm{Ag}^+ que aparece quando o sólido \mathrm{AgAc} se dissolve nessa solução. \n
  • Dados fornecidos:\n
    \;K_{\text{ps}}(\mathrm{AgAc}) = 4\times 10^{-3}\n
    \;K_{a,\mathrm{HAc}} = 1,8\times 10^{-5}\n
    \;\text{pH} = 2 \Rightarrow [\mathrm{H}^+] = 10^{-2} = 0,01\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\n
  • Observação importante: a solução está tamponada em pH 2, isto é, o [\mathrm{H}^+] está fixo em 0,01\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}. Vamos considerar que não há outra fonte de acetato além do que vem da dissolução do sal (ou seja, a quantidade total de acetato formada pela dissolução será relacionada à espécie protonada e desprotonada conforme o equilíbrio ácido-base).

Passo 2

Equilíbrios químicos relevantes e definições (explicando cada símbolo).\n
  • Dissolução do acetato de prata:\n \mathrm{AgAc(s)} \rightleftharpoons \mathrm{Ag}^+ + \mathrm{Ac}^-O produto de solubilidade é a constante K_{\text{ps}} = [\mathrm{Ag}^+][\mathrm{Ac}^-].Aqui [\mathrm{Ag}^+] e [\mathrm{Ac}^-] são as concentrações em mol·L ^{-1} no equilíbrio.\n
  • Equilíbrio ácido-base do ácido acético (protonação do acetato):\n \mathrm{HAc} \rightleftharpoons \mathrm{H}^+ + \mathrm{Ac}^-A constante de acidez é K_a = \frac{[\mathrm{H}^+][\mathrm{Ac}^-]}{[\mathrm{HAc}]}.Aqui [\mathrm{HAc}] é a concentração da forma protonada (ácido acético) e [\mathrm{Ac}^-] a forma desprotonada (acetato).\n
  • Interpretação física: quando \mathrm{AgAc} se dissolve, gera \mathrm{Ac}^-, mas parte desse \mathrm{Ac}^- pode ser protonada formando \mathrm{HAc}. Como o pH está fixo, a fração de acetato livre [\mathrm{Ac}^-] será determinada pelo equilíbrio com [\mathrm{HAc}] via K_a.

Passo 3

Relação entre a solubilidade s e as espécies de acetato (conservação de massa) — passo didático.\n
  • Definimos a solubilidade molar como s=[\mathrm{Ag}^+] (cada mol de \mathrm{AgAc} que se dissolve gera 1 mol de \mathrm{Ag}^+).\n
  • A dissolução fornece uma quantidade total de acetato igual a s. Essa quantidade total se distribui entre as duas formas:\n s = [\mathrm{Ac}^-] + [\mathrm{HAc}].Essa é a conservação de massa para o acetato (tudo que saiu do sólido está nas duas formas em solução).\n
  • Usamos a expressão de K_a para escrever [\mathrm{HAc}] em função de [\mathrm{Ac}^-] e [\mathrm{H}^+]:\n K_a = \frac{[\mathrm{H}^+][\mathrm{Ac}^-]}{[\mathrm{HAc}]}\quad\Rightarrow\quad [\mathrm{HAc}] = \frac{[\mathrm{H}^+][\mathrm{Ac}^-]}{K_a}.
  • Substituindo em s = [\mathrm{Ac}^-] + [\mathrm{HAc}]:\n s = [\mathrm{Ac}^-] + \frac{[\mathrm{H}^+][\mathrm{Ac}^-]}{K_a} = [\mathrm{Ac}^-]\left(1 + \frac{[\mathrm{H}^+]}{K_a}\right).Portanto isolamos [\mathrm{Ac}^-]:\n [\mathrm{Ac}^-] = s\cdot\frac{K_a}{K_a + [\mathrm{H}^+]}.(Explicação rápida: essa fórmula diz que a fração do acetato que permanece como \mathrm{Ac}^- depende da razão [\mathrm{H}^+]/K_a. Se [\mathrm{H}^+] for grande em relação a K_a, a maior parte estará protonada como \mathrm{HAc}, reduzindo [\mathrm{Ac}^-].)

Passo 4

Relacionando com o K_{\text{ps}} e obtendo a expressão para s.\n
  • Pelo produto de solubilidade temos\n K_{\text{ps}} = [\mathrm{Ag}^+][\mathrm{Ac}^-].Mas [\mathrm{Ag}^+] = s e substituímos [\mathrm{Ac}^-] obtido no passo anterior:\n K_{\text{ps}} = s \cdot \left(s\cdot\frac{K_a}{K_a + [\mathrm{H}^+]}\right) = s^2\cdot\frac{K_a}{K_a + [\mathrm{H}^+]}.
  • Isolando s:\n s^2 = K_{\text{ps}}\cdot\frac{K_a + [\mathrm{H}^+]}{K_a} \quad\Rightarrow\quad s = \sqrt{\,K_{\text{ps}}\cdot\frac{K_a + [\mathrm{H}^+]}{K_a}\, }.(Aqui s é a solubilidade molar procurada; a expressão faz sentido fisicamente: se [\mathrm{H}^+] aumenta, o fator (K_a + [\mathrm{H}^+])/K_a aumenta e, portanto, s aumenta — protonação retira \mathrm{Ac}^- livre, permitindo mais dissolução.)

Passo 5

Substituição numérica passo a passo e cálculo final.\n
  • Escrevemos os valores em notação correta:\n K_{\text{ps}} = 4\times 10^{-3},\quad K_a = 1,8\times 10^{-5},\quad [\mathrm{H}^+] = 10^{-2} = 0,01.
  • Calculamos K_a + [\mathrm{H}^+]:\n K_a + [\mathrm{H}^+] = 1,8\times 10^{-5} + 0,01 = 0,010018.
  • Calculamos o fator \dfrac{K_a + [\mathrm{H}^+]}{K_a}:\n \frac{K_a + [\mathrm{H}^+]}{K_a} = \frac{0,010018}{1,8\times 10^{-5}} \approx 556,56.
  • Agora s^2 = K_{\text{ps}}\times 556,56:\n s^2 = 4\times 10^{-3}\times 556,56 \approx 2,2262.
  • Finalmente s = \sqrt{2,2262} \approx 1,492.\n
  • Arredondando sensatamente (três algarismos significativos) obtemos\n s \approx 1,49\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 6

Comentário final rápido e incentivo.\n
  • Resultado razoável: o pH muito ácido (pH 2) protona a maior parte do acetato formado, diminuindo [\mathrm{Ac}^-] livre e, por consequência, permitindo que mais \mathrm{AgAc} se dissolva — por isso a solubilidade fica surpreendentemente alta. \n
  • Bom trabalho até aqui — com calma e seguindo os passos dá para aplicar esse procedimento em problemas parecidos (sal com ânion básico em solução ácida).

Resposta

s \approx 1,49\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}

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