Calcule a solubilidade molar de cada substância pouco solúvel na sua solução respectiva:
brometo de prata \left(\mathrm{Kps}=7,7 \times 10^{-13}\right) em \mathrm{NaBr}(\mathrm{aq}) 1,0 \times 10^{-3} \mathrm{M}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a solubilidade molar do brometo de prata em uma solução que já contém brometo de sódio. Dados importantes fornecidos:
\mathrm{K_{ps}}(\mathrm{AgBr}) = 7{,}7 \times 10^{-13}.
Concentração inicial do \mathrm{Br^-} vinda de \mathrm{NaBr}: \left[\mathrm{Br^-}\right]_{\text{inicial}} = 1{,}0 \times 10^{-3}\\ \mathrm{M}.
A pergunta específica: qual é a solubilidade molar de \mathrm{AgBr} nessa solução (ou seja, quantos mols de \mathrm{AgBr} se dissolvem por litro, em mol·L^{-1})?

Passo 2

Escrevemos a equação de dissociação do sal sólido e definimos a incógnita que queremos:
\mathrm{AgBr(s)} \rightleftharpoons \mathrm{Ag^+ (aq)} + \mathrm{Br^- (aq)}.
Definimos s como a solubilidade molar de \mathrm{AgBr} na solução dada, isto é, s= concentração de \mathrm{Ag^+} que se forma por dissolução, em mol·L^{-1}. Explico o que é \mathrm{K_{ps}}: é o produto das concentrações dos íons em equilíbrio, para essa dissociação:
\mathrm{K_{ps}} = \left[\mathrm{Ag^+}\right]\left[\mathrm{Br^-}\right].
Aqui \mathrm{K_{ps}} é uma constante conhecida e \left[\mathrm{Ag^+}\right] e \left[\mathrm{Br^-}\right] são as concentrações em equilíbrio (após algum AgBr ter se dissolvido).

Passo 3

Expressamos as concentrações em equilíbrio em função de s. Do enunciado sabemos que já existe brometo vindo do NaBr, então:
\left[\mathrm{Ag^+}\right] = s,
\left[\mathrm{Br^-}\right] = 1{,}0\times 10^{-3} + s.
Substituindo na expressão do \mathrm{K_{ps}} obtemos a equação que define s:
7{,}7\times 10^{-13} = s\bigl(1{,}0\times 10^{-3} + s\bigr).
Comentário didático curto: quando há um íon em comum (aqui \mathrm{Br^-}) já presente na solução, isso diminui a solubilidade do sal — isso se chama efeito do íon comum. Agora vamos resolver a equação para s.

Passo 4

Primeira abordagem — aproximação padrão: normalmente s será muito menor que 1{,}0\times 10^{-3} (porque \mathrm{K_{ps}} é muito pequeno). Então fazemos a aproximação
1{,}0\times 10^{-3} + s \approx 1{,}0\times 10^{-3}.
Assim
s \approx \frac{\mathrm{K_{ps}}}{1{,}0\times 10^{-3}}.
Substituindo numérico:
s \approx \frac{7{,}7\times 10^{-13}}{1{,}0\times 10^{-3}} = 7{,}7\times 10^{-10}\\ \mathrm{M}.
Explicação do cálculo: dividir por 10^{-3} sobe o expoente em 10^3, então 7{,}7\times 10^{-13}\div 10^{-3}=7{,}7\times 10^{-10}.

Passo 5

Verificação da aproximação resolvendo exatamente a equação quadrática (para garantir que a aproximação foi válida). Expandindo a equação do Passo 3:
s^2 + (1{,}0\times 10^{-3})s - 7{,}7\times 10^{-13} = 0.
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para a raiz positiva:
s = \frac{-1{,}0\times 10^{-3} + \sqrt{(1{,}0\times 10^{-3})^2 + 4\cdot 7{,}7\times 10^{-13}}}{2}.
Calculamos o discriminante:
(1{,}0\times 10^{-3})^2 = 1{,}0\times 10^{-6},
4\cdot 7{,}7\times 10^{-13} = 3{,}08\times 10^{-12},
\text{discriminante} = 1{,}0\times 10^{-6} + 3{,}08\times 10^{-12} \approx 1{,}00000308\times 10^{-6}.
A raiz quadrada vale aproximadamente
\sqrt{\text{discriminante}} \approx 1{,}00000154\times 10^{-3}.
Substituindo:
s \approx \frac{-1{,}0\times 10^{-3} + 1{,}00000154\times 10^{-3}}{2} = \frac{1{,}54\times 10^{-9}}{2} = 7{,}7\times 10^{-10}\\ \mathrm{M}.
Resultado idêntico à aproximação. Para justificar numericamente a aproximação: \dfrac{s}{1{,}0\times 10^{-3}} = 7{,}7\times 10^{-7}, que é muito, muito menor que 5% — portanto a aproximação é totalmente válida.

Passo 6

Interpretação curta e motivadora: a solubilidade de \mathrm{AgBr} nessa solução com \mathrm{Br^-} comum é muito baixa ( 7{,}7\times 10^{-10}\\ \mathrm{M}). O íon comum \mathrm{Br^-} reduz drasticamente a quantidade de AgBr que pode se dissolver, por isso a solubilidade cai em comparação à água pura. Bom trabalho até aqui — essa é a rotina que você vai usar em prova: escrever o equilíbrio, definir s, montar a expressão do Kps e, quando houver um íon comum, usar a aproximação s \ll [íon comum] e verificar depois.

Resposta

7{,}7\times 10^{-10}\\ \mathrm{M}

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