Calcule a solução de cada problema de valor inicial abaixo:
b)
.
b)
Passo 1
O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
x y′ + y = e^{−x²/2}, com condição inicial y(2)=−3. Vamos usar fator integrante.
x y′ + y = e^{−x²/2}, com condição inicial y(2)=−3. Vamos usar fator integrante.
Passo 2
Escrevemos no formato padrão y′ + (1/x) y = e^{−x²/2}/x, onde o coeficiente de y é p(x)=1/x. O fator integrante é
Passo 3
Multiplicamos a equação original por μ(x)=x. O lado esquerdo fica a derivada do produto:
enquanto o lado direito é e^{−x²/2}. Assim temos
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a x:
Esse integral não elementar é expresso pela função erro:
Absorvemos K em C, ficando
Passo 5
Aplicamos a condição inicial y(2)=−3. Substituindo x=2:
ou seja
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Passo 6
Finalmente, isolamos y:
que é a solução geral satisfazendo y(2)=−3.
Resposta
y(x)=\frac{√{π/2},erf(x/√2)−6−√{π/2},erf(√2)}{x}