Calcule a solução de cada problema de valor inicial abaixo:
b) x y^prime+y=e^-x^2 / 2, x>0, y(2)=-3.

Passo 1

O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
x y′ + y = e^{−x²/2}, com condição inicial y(2)=−3. Vamos usar fator integrante.

Passo 2

Escrevemos no formato padrão y′ + (1/x) y = e^{−x²/2}/x, onde o coeficiente de y é p(x)=1/x. O fator integrante é
μ(x)=e^∫p(x)dx=e^∫(1/x)dx=e^ln x=x

Passo 3

Multiplicamos a equação original por μ(x)=x. O lado esquerdo fica a derivada do produto:
(x y)=x y+y,
enquanto o lado direito é e^{−x²/2}. Assim temos
(x y)=e^−x²/2 ²

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
x y= ∫e^−x²/2dx+C ²
Esse integral não elementar é expresso pela função erro:
∫e^−x²/2dx=igl(√π/2igr), exterfl(x/√2r)+K ²
Absorvemos K em C, ficando
x y=√π/2,erfl(x/√2r)+C

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(2)=−3. Substituindo x=2:
2·(−3)=√π/2,erfl(2/√2r)+C
ou seja
−6=√π/2,erf(√2)+C
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C=−6−√π/2,erf(√2)

Passo 6

Finalmente, isolamos y:
y(x)= 1xl[√π/2,erfl(x/√2r)−6−√π/2,erf(√2)r]
que é a solução geral satisfazendo y(2)=−3.

Resposta

y(x)=\frac{√{π/2},erf(x/√2)−6−√{π/2},erf(√2)}{x}

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