Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
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Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo a questão. A gente tem a equação diferencial $ x^{2} y’ = x^{2} - x y + y^{2} $. Nosso objetivo é resolver essa equação, ou seja, encontrar a função $ y $ em termos de $ x $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e como manipulá-las para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar $ y’ $ isolado. Dividindo ambos os lados por $ x^{2} $, temos:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Vamos definir $ t = \frac{y}{x} $. Isso significa que $ y = t x $. Diferenciando ambos os lados em relação a $ x $, obtemos:
Passo 4
Substituindo $ y $ e $ y’ $ na equação original, temos:
Vamos reorganizar para isolar $ t’ $:
Passo 5
Agora, vamos separar as variáveis para integrar. Dividindo ambos os lados por $ 1 - 2t + t^{2} $ e multiplicando por $ dx $:
Passo 6
Vamos integrar os dois lados. A integral do lado esquerdo requer uma u-substituição. Observamos que:
Portanto, a integral fica:
E do lado direito:
Passo 7
Igualando as integrais, temos:
Vamos resolver para $ t $:
Onde $ C’ $ é uma constante ajustada.
Passo 8
Isolando $ t $:
Passo 9
Lembrando que $ t = \frac{y}{x} $, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por $ x $:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.