Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
x^2 y^prime=x^2-x y+y^2;

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo a questão. A gente tem a equação diferencial $ x^{2} y’ = x^{2} - x y + y^{2} $. Nosso objetivo é resolver essa equação, ou seja, encontrar a função $ y $ em termos de $ x $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e como manipulá-las para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar $ y’ $ isolado. Dividindo ambos os lados por $ x^{2} $, temos:
y'
Isso simplifica para:
x^2

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Vamos definir $ t = \frac{y}{x} $. Isso significa que $ y = t x $. Diferenciando ambos os lados em relação a $ x $, obtemos:
t = yx

Passo 4

Substituindo $ y $ e $ y’ $ na equação original, temos:
y
Vamos reorganizar para isolar $ t’ $:
y'

Passo 5

Agora, vamos separar as variáveis para integrar. Dividindo ambos os lados por $ 1 - 2t + t^{2} $ e multiplicando por $ dx $:
1 - 2t + t^2

Passo 6

Vamos integrar os dois lados. A integral do lado esquerdo requer uma u-substituição. Observamos que:
1 - 2t + t^2 = (t - 1)^2
Portanto, a integral fica:
integral dt(t - 1)^2 = -1t - 1 + C
E do lado direito:
integral dxx = ln|x| + C

Passo 7

Igualando as integrais, temos:
-1t - 1 = ln|x| + C
Vamos resolver para $ t $:
t
Onde $ C’ $ é uma constante ajustada.

Passo 8

Isolando $ t $:
t
t - 1 = 1C' - ln x

Passo 9

Lembrando que $ t = \frac{y}{x} $, substituímos de volta:
t = yx
Multiplicando ambos os lados por $ x $:
yx = 1 + 1C - ln x

Resposta

A solução geral da equação é:
y = x + xC - ln x
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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