Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial:
(a) y^prime prime-8 y^prime+16 y=0, y(0)=1 / 2, y^prime(0)=-1 / 3 ;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes
y’’ - 8y’ + 16y = 0
y(0) = \tfrac12, y’(0) = -\tfrac13
Vamos usar a teoria de equação característica e condições iniciais.

Passo 2

A equação característica associada é
r^2 - 8r + 16 = 0
Fatorando, obtemos
(r - 4)^2 = 0
Logo a raiz é real dupla r = 4.

Passo 3

Para raiz dupla r=4, a solução geral da EDO homogênea é
y(t) = C1 e^4t + C2 ,t,e^4t
Isso vem da teoria de EDOs lineares com raízes repetidas.

Passo 4

Calculamos a derivada e aplicamos as condições iniciais.
Derivando:
y'(t) = 4C1 e^4t + C2 e^4t + 4C2 t e^4t = e^4tl(4C1 + C2 + 4C2 tr)
Em t=0:
y(0)=C1=tfrac12implies C1=tfrac12
y'(0)=4C1 + C2 = -tfrac13implies 2 + C2 = -tfrac13implies C2 = -tfrac73.

Passo 5

Substituindo C1 e C2 na solução geral, chega-se a
y(t) = tfrac12 e^4t - tfrac73,t,e^4t = e^4tl(tfrac12 - tfrac73 tr), que satisfaz as condições iniciais.

Resposta

y(t)=e^4tl(tfrac12-tfrac73 tr)

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