Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes
y’’ - 8y’ + 16y = 0
y(0) = \tfrac12, y’(0) = -\tfrac13
y(0) = \tfrac12, y’(0) = -\tfrac13
Vamos usar a teoria de equação característica e condições iniciais.
Passo 2
A equação característica associada é
Fatorando, obtemos
Logo a raiz é real dupla
.
Passo 3
Para raiz dupla
, a solução geral da EDO homogênea é
Isso vem da teoria de EDOs lineares com raízes repetidas.
Passo 4
Calculamos a derivada e aplicamos as condições iniciais.
Derivando:
Derivando:
Em
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, chega-se a