Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
2 x ln y d x+x^2y d y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
2x ln y , dx + x^2y , dy = 0
Primeiro, vamos identificar de que tipo de equação se trata. Vemos que envolve derivadas de x e y, então estamos lidando com uma equação diferencial exata. Para resolver, precisamos verificar se a equação é realmente exata e, se for, encontrar a solução geral.

Passo 2

Uma equação diferencial na forma M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0 é exata se a derivada parcial de M em relação a y for igual à derivada parcial de N em relação a x. Vamos calcular essas derivadas:
M(x, y) = 2x ln y
N(x, y) = x^2y
Calculando partial Mpartial y:
partial Mpartial y = 2x cdot 1y = 2xy
Calculando partial Npartial x:
partial Npartial x = 2xy
Como partial Mpartial y = partial Npartial x, a equação é exata.

Passo 3

Agora que confirmamos que a equação é exata, precisamos encontrar uma função F(x, y) tal que:
partial Fpartial x = M(x, y) = 2x ln y
Para isso, vamos integrar M(x, y) em relação a x:
F(x, y) = integral 2x ln y , dx = x^2 ln y + g(y)
Aqui, g(y) é uma função que depende apenas de y, pois a integração em relação a x trata y como uma constante.

Passo 4

Agora, para encontrar g(y), vamos derivar F(x, y) em relação a y e igualar à função N(x, y):
partial Fpartial y = x^2 cdot 1y + g'(y) = x^2y + g'(y)
Sabemos que essa derivada deve ser igual a N(x, y):
x^2y + g'(y) = x^2y
Isso implica que:
g'(y) = 0
Integrando g'(y):
g(y) = C
onde C é uma constante.

Resposta

A solução geral da equação é:
x^2 ln y = C
ou, isolando y:
ln y = Cx^2 Rightarrow y = e^Cx^2
onde C é uma constante de integração.

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