Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Primeiro, vamos identificar de que tipo de equação se trata. Vemos que envolve derivadas de
Passo 2
Uma equação diferencial na forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular essas derivadas:
Calculando
:
Calculando
:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Agora que confirmamos que a equação é exata, precisamos encontrar uma função
tal que:
Para isso, vamos integrar
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, pois a integração em relação a
trata
como uma constante.
Passo 4
Agora, para encontrar
, vamos derivar
em relação a
e igualar à função
:
Sabemos que essa derivada deve ser igual a
:
Isso implica que:
Integrando
:
onde
é uma constante.
Resposta
A solução geral da equação é:
ou, isolando
:
onde
é uma constante de integração.