Calcule a solução de cada problema de valor inicial seguinte:
y^prime prime+4 y^prime+13 y=0, y(0)=0, y^prime(0)=-2;

Passo 1

O problema pede para resolver a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: equação característica e solução geral de y’’+4y’+13y=0 com condições iniciais y(0)=0 e y’(0)=-2

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
r^2 + 4r + 13 = 0
Calculamos as raízes usando a fórmula de Bhaskara:
r = -4 pm raiz4^2 - 4cdot1cdot132 = -4 pm raiz-362 = -2 pm 3i

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas -2 pm 3i, a solução geral é
y(x) = e^-2xl(C1cos(3x) + C2sin(3x)r)

Passo 4

Aplicamos a condição y(0)=0:
y(0) = e^0l(C1cos0 + C2sin0r) = C1 = 0
Logo, C_1=0 e
y(x) = e^-2xC2sin(3x)

Passo 5

Calculamos y’(x) e usamos y’(0)=-2:
Derivando:
y'(x) = e^-2xl(-2C2sin(3x) + 3C2cos(3x)r)
Em x=0:
y'(0) = -2C2 + 3C2 = C2 = -2
Portanto C_2 = -2, e a solução final fica
y(x) = -2e^-2xsin(3x)
Observação: ao reavaliar o passo de y’(0), constatamos que -2C_2+3C_2= C_2 e igual a -2.

Passo 6

final_answer

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