Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais não homogêneas:
;
Passo 1
O enunciado pede a solução geral de uma equação diferencial linear de 2ª ordem não homogênea: y’’ + 3y’ + 2y = 8 + 6 e^x + 2 sen x. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que consiste em achar primeiro a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular para o termo não homogêneo.
Passo 2
Para encontrar a solução homogênea, resolvemos a equação característica associada:
As raízes são r = -1 e r = -2. Logo, a solução homogênea é
Passo 3
Como o termo não homogêneo é a soma de uma constante, um exponencial e um senóide, propomos uma solução particular do tipo
Isso cobre cada tipo de termo sem coincidir com as raízes da característica.
Passo 4
Calculamos as derivadas de y_p e substituímos na equação:
Substituindo em y’’ + 3y’ + 2y e agrupando termos, obtemos:
Constante: 2A = 8
Exponencial: (1 + 3 + 2)B = 6 ;⇒; 6B = 6
Coeficiente de cos x: (-C + 3D + 2C) = C + 3D = 0
Coeficiente de sen x: (-D -3C + 2D) = -3C + D = 2
Constante: 2A = 8
Exponencial: (1 + 3 + 2)B = 6 ;⇒; 6B = 6
Coeficiente de cos x: (-C + 3D + 2C) = C + 3D = 0
Coeficiente de sen x: (-D -3C + 2D) = -3C + D = 2
Passo 5
Resolvendo o sistema de equações:
De C + 3D = 0 vem C = -3D. Substituindo em -3C + D = 2:
Resposta
A solução geral é