Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais não homogêneas:
y^prime prime+3 y^prime+2 y=8+6 e^x+2 sen x;

Passo 1

O enunciado pede a solução geral de uma equação diferencial linear de 2ª ordem não homogênea: y’’ + 3y’ + 2y = 8 + 6 e^x + 2 sen x. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que consiste em achar primeiro a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular para o termo não homogêneo.

Passo 2

Para encontrar a solução homogênea, resolvemos a equação característica associada:
r^2 + 3r + 2 = 0
As raízes são r = -1 e r = -2. Logo, a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x

Passo 3

Como o termo não homogêneo é a soma de uma constante, um exponencial e um senóide, propomos uma solução particular do tipo
yp(x) = A + B e^x + C ,cos x + D ,sin x
Isso cobre cada tipo de termo sem coincidir com as raízes da característica.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p e substituímos na equação:
yp' = B e^x - C ,sin x + D ,cos x
yp'' = B e^x - C ,cos x - D ,sin x
Substituindo em y’’ + 3y’ + 2y e agrupando termos, obtemos:
Constante: 2A = 8
Exponencial: (1 + 3 + 2)B = 6 ;⇒; 6B = 6
Coeficiente de cos x: (-C + 3D + 2C) = C + 3D = 0
Coeficiente de sen x: (-D -3C + 2D) = -3C + D = 2

Passo 5

Resolvendo o sistema de equações:
2A = 8 ;⇒; A = 4
6B = 6 ;⇒; B = 1
De C + 3D = 0 vem C = -3D. Substituindo em -3C + D = 2:
-3(-3D) + D = 2 ;⇒; 9D + D = 2 ;⇒; 10D = 2 ;⇒; D = tfrac15, C = -tfrac35

Resposta

A solução geral é
y(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x + 4 + e^x - tfrac35cos x + tfrac15sin x

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