Calcule a solução de cada problema de valor inicial seguinte:
.
Passo 1
Neste problema, temos uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
, sujeita às condições iniciais
e
. Para resolver, vamos determinar a equação característica, encontrar suas raízes, montar a solução geral e, por fim, usar as condições iniciais.
Passo 2
Formamos a equação característica associada:
Calculamos o discriminante:
Como
, há uma raiz dupla
Passo 3
Para uma raiz dupla
, a teoria de EDOs diz que a solução geral é da forma
Passo 4
Agora derivamos
e aplicamos as condições iniciais. Primeiro,
Em
:
-
. -
implica .
Portanto, a solução particular é obtida come .