Calcule a solução de cada problema de valor inicial seguinte:
y^prime prime-2 raiz5 y^prime+5 y=0, y(0)=0, y^prime(0)=3.

Passo 1

Neste problema, temos uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: y'' - 2raiz5,y' + 5y = 0, sujeita às condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=3. Para resolver, vamos determinar a equação característica, encontrar suas raízes, montar a solução geral e, por fim, usar as condições iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
r^2 - 2raiz5,r + 5 = 0
Calculamos o discriminante:
De
Como De, há uma raiz dupla
r = 2raiz52 = raiz5 .

Passo 3

Para uma raiz dupla r=raiz5, a teoria de EDOs diz que a solução geral é da forma
y(t) = (C1 + C2,t),e^raiz5,t

Passo 4

Agora derivamos y(t) e aplicamos as condições iniciais. Primeiro,
y'(t) = C1raiz5,e^raiz5 t + C2,e^raiz5 t + C2,traiz5,e^raiz5 t
Em t=0:
  • y(0)=C1=0.
  • y'(0)=C1raiz5 + C2 = 3 implica C2=3.
    Portanto, a solução particular é obtida com C1=0 e C2=3.

Resposta

y(t) = 3,t,e^raiz5,t

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