O par de soluções y1(x), k y1(x) da EDO y^prime prime+a(x) y^prime+b(x) y=0, onde k é constante, não é uma base de soluções; para ser base, no lugar de k tem de ser uma função que dependa de x.

Passo 1

Temos a EDO de segunda ordem y'' + a(x)y' + b(x)y = 0. A ideia é achar duas soluções que formem uma base (ou conjunto fundamental), ou seja, sejam linearmente independentes. Para isso vamos precisar do conceito de independência linear e do Wronskiano.

Passo 2

Se tomarmos um segundo candidato de solução y2(x) = k,y1(x) com k constante, note que estamos apenas escalando y1. Duas soluções são linearmente dependentes se uma é múltiplo constante da outra.

Passo 3

Para confirmar a dependência, calculamos o Wronskiano
W[y1,y2](x) = y1 & y2 y1' & y2' = y1,y2' - y1',y2
Substituindo y2 = k,y1 e y2' = k,y1' obtemos
W = y1,(k y1') - y1',(k y1) = k,(y1 y1' - y1' y1) = 0
Como o Wronskiano é zero para todo x, as soluções são linearmente dependentes e não formam base.

Passo 4

Para ter um segundo elemento de base precisamos que o múltiplo seja uma função de x, ou seja, escolher y2(x)=v(x),y1(x) com v(x) não constante. Esse é o método de redução de ordem: inserimos y2 na EDO, achamos uma equação para v'(x) e obtemos uma segunda solução linearmente independente.

Resposta

O par y1(x),k,y1(x) não é base porque o Wronskiano é zero (soluções dependentes). Para formar uma base, o segundo fator deve ser uma função de x, isto é, usar y2(x)=v(x),y1(x) com v(x) não constante.

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