O par de soluções da EDO , onde é constante, não é uma base de soluções; para ser base, no lugar de tem de ser uma função que dependa de .
Passo 1
Temos a EDO de segunda ordem . A ideia é achar duas soluções que formem uma base (ou conjunto fundamental), ou seja, sejam linearmente independentes. Para isso vamos precisar do conceito de independência linear e do Wronskiano.
Passo 2
Se tomarmos um segundo candidato de solução com constante, note que estamos apenas escalando . Duas soluções são linearmente dependentes se uma é múltiplo constante da outra.
Passo 3
Para confirmar a dependência, calculamos o Wronskiano
Como o Wronskiano é zero para todo x, as soluções são linearmente dependentes e não formam base.
Passo 4
Para ter um segundo elemento de base precisamos que o múltiplo seja uma função de x, ou seja, escolher y2(x)=v(x),y1(x) com v(x) não constante. Esse é o método de redução de ordem: inserimos y2 na EDO, achamos uma equação para v'(x) e obtemos uma segunda solução linearmente independente.
Resposta
O par y1(x),k,y1(x) não é base porque o Wronskiano é zero (soluções dependentes). Para formar uma base, o segundo fator deve ser uma função de x, isto é, usar y2(x)=v(x),y1(x) com v(x) não constante.