Encontre o centróide da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
(e) y = |x| raiz(1 - x^2), y = 0, x = -1, x = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o centróide da região delimitada pelas curvas , , e . Esse problema está relacionado à Geometria Analítica e ao Cálculo, especificamente ao cálculo de centroides. Para resolver, vamos precisar usar as fórmulas de centroides para áreas planas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a simetria da região. Observando a função , percebemos que ela é par, ou seja, é simétrica em relação ao eixo y. Além disso, os limites de são de -1 a 1, reforçando essa simetria. Por causa disso, podemos concluir que o centróide estará sobre o eixo y, ou seja, a coordenada será zero.

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da região. A área pode ser encontrada integrando a função em relação a de -1 a 1:
Devido à simetria da função, podemos calcular a integral de 0 a 1 e multiplicar por 2:

Passo 4

Para resolver a integral, vamos fazer uma substituição. Seja , então . Ajustando a integral:
Integrando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a coordenada do centróide. A fórmula para é:
Simplificando:
Resolvendo a integral:
Então:

Resposta

O centróide da região é .

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