(a) Encontre uma solução estacionária para o problema
l ut=ux x+sen x, em (0, pi) times(0,+infty) u(0, t)=1, t >= 0 ux(pi, t)=2, t >= 0
isto é, encontre uma função v que independe de t e que seja solução do problema acima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um problema que envolve equações diferenciais parciais, mais especificamente a equação do calor com uma fonte externa, que é representada por . O objetivo é encontrar uma solução estacionária, ou seja, uma função que não depende do tempo e que satisfaça a equação e as condições de contorno dadas.

Passo 2

Primeiro, como estamos buscando uma solução que não muda com o tempo, isso significa que a derivada parcial em relação ao tempo, ut = uxx + sin x , será zero. Então, vamos começar ajustando a equação original:
0 = uxx + sin x Rightarrow uxx = -sin x
Como , a equação fica:
Aqui, representa a segunda derivada de em relação a .

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO):
uxx = -sin x
Para resolver, precisamos integrar duas vezes em relação a ux = integral -sin x , dx = cos x + C1 .
Primeira integração:
u = integral (cos x + C1) , dx = sin x + C1 x + C2
Segunda integração:
v(x) = sin x + C1 x + C2
Então, a solução geral da EDO é:
Aqui, e são constantes de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 4

Vamos aplicar agora as condições de contorno para achar v(0) = 1 e 1 = sin(0) + C1 cdot 0 + C2 Rightarrow 1 = 0 + 0 + C2 Rightarrow C2 = 1 .
Primeira condição de contorno:
vx(pi) = 2
Substituindo na expressão de vx(x) = cos x + C1 :
2 = cos(pi) + C1 Rightarrow 2 = -1 + C1 Rightarrow C1 = 3
Segunda condição de contorno:
Primeiro, vamos achar a derivada de :
Agora, substituímos :

Passo 5

Agora que temos os valores de v(x) = sin x + 3x + 1 e , substituímos de volta na expressão de :

Resposta

A solução estacionária é
v(x) = sin x + 3x + 1

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