Calcule a solução geral de cada uma das equações diferenciais lineares:
(d)
.
(d)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes. O conteúdo envolve o método do polinômio característico e como tratar raízes múltiplas.
Passo 2
Escrevemos o polinômio característico substituindo cada derivada por uma potência de r:
Passo 3
Fatoramos o polinômio para identificar as raízes:
Passo 4
Resolvemos cada fator igual a zero para achar as raízes: o fator r=0 dá r_1 = 0 e o quadrático r^2 + 4r + 4 = 0 tem
Passo 5
Como temos uma raiz simples r_1=0 e uma raiz dupla r_2=r_3=-2, a solução geral é dada pela combinação linear das soluções básicas:
- Para r_1=0: a solução é constante, e^{0x} = 1
- Para r_2=-2 (raiz dupla): as soluções são e^{-2x} e x e^{-2x}
Juntando tudo, temos a solução geral na forma final combinando as constantes arbitrárias C_1, C_2 e C_3: