Calcule a solução geral de cada uma das equações diferenciais lineares:
(d) y^prime prime prime+4 y^prime prime+4 y^prime=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes. O conteúdo envolve o método do polinômio característico e como tratar raízes múltiplas.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico substituindo cada derivada por uma potência de r:
r^3 + 4r^2 + 4r = 0

Passo 3

Fatoramos o polinômio para identificar as raízes:
r(r^2 + 4r + 4) = 0

Passo 4

Resolvemos cada fator igual a zero para achar as raízes: o fator r=0 dá r_1 = 0 e o quadrático r^2 + 4r + 4 = 0 tem
r = -4 pm raiz16 - 162 = -2 com multiplicidade 2, ou seja, r_2 = r_3 = -2.

Passo 5

Como temos uma raiz simples r_1=0 e uma raiz dupla r_2=r_3=-2, a solução geral é dada pela combinação linear das soluções básicas:
  • Para r_1=0: a solução é constante, e^{0x} = 1
  • Para r_2=-2 (raiz dupla): as soluções são e^{-2x} e x e^{-2x}
    Juntando tudo, temos a solução geral na forma final combinando as constantes arbitrárias C_1, C_2 e C_3:
y(x) = C1 + C2e^-2x + C3xe^-2x

Resposta

y(x) = C1 + C2 e^-2x + C3 x e^-2x

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