Uma equação diferencial de primeira ordem y^prime=f(x, y) é chamada de homogênea quando a função f satisfaz a condição f(t x, t y)=f(x, y) para todo t; essas equações sempre podem ser reescritas na forma y^prime=g(y / x) ou y^prime=h(x / y). Logo, basta fazer a mudança de variável u=y / x na penúltima (e u=x / y na última) para transformar a EDO homogênea em uma EDO separável. Use essas informações para resolver as seguintes equações:
(a) y^prime=2 x yx^2-y^2

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem homogênea y'=2xyx^2-y^2. O conteúdo é “equação diferencial homogênea”: quando f(tx,ty)=f(x,y) podemos usar a troca u=y/x para transformá-la em uma equação separável.

Passo 2

Fazendo a troca de variável u=y/x, temos y=ux e então
y'=u + x,u'

Passo 3

Substituindo na EDO original:
u + x,u'=2x,(u x)x^2-(u x)^2=2u,x^2x^2(1-u^2)=2u1-u^2

Passo 4

Reorganizando para isolar u':
x,u'=2u1-u^2-u=2u - u(1-u^2)1-u^2=u(1+u^2)1-u^2

Passo 5

Logo a equação fica separável:
1-u^2u(1+u^2),du=dxx

Passo 6

Integramos dos dois lados. Decompondo a fração:
1-u^2u(1+u^2)=1u-2u1+u^2

Passo 7

Temos então
integrall(1u-2u1+u^2r)du=integraldxx

Passo 8

Que dá
ln|u|-ln(1+u^2)=ln|x|+C

Passo 9

Voltando a u=y/x, obtemos
lnl|y/x1+(y/x)^2r|=ln|x|+C

Passo 10

Isso simplifica para
yx^2+y^2=K(com K=e^C)

Passo 11

Multiplicando em cruz e reagrupando, chegamos à solução implícita
x^2+y^2=C,y

Resposta

A solução geral implícita é x^2 + y^2 = C,y, com constante arbitrária C.

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