Uma equação diferencial de primeira ordem é chamada de homogênea quando a função satisfaz a condição para todo ; essas equações sempre podem ser reescritas na forma ou . Logo, basta fazer a mudança de variável na penúltima (e na última) para transformar a EDO homogênea em uma EDO separável. Use essas informações para resolver as seguintes equações:
(a)
Passo 1
O enunciado dá a EDO de primeira ordem homogênea . O conteúdo é “equação diferencial homogênea”: quando podemos usar a troca para transformá-la em uma equação separável.
Passo 2
Fazendo a troca de variável , temos e então
Passo 3
Substituindo na EDO original:
Passo 4
Reorganizando para isolar :
Passo 5
Logo a equação fica separável:
Passo 6
Integramos dos dois lados. Decompondo a fração:
Passo 7
Temos então
Passo 8
Que dá
Passo 9
Voltando a , obtemos
Passo 10
Isso simplifica para
yx^2+y^2=K(com K=e^C)
Passo 11
Multiplicando em cruz e reagrupando, chegamos à solução implícita
x^2+y^2=C,y
Resposta
A solução geral implícita é x^2 + y^2 = C,y, com constante arbitrária C.