Determine uma solução contínua do PVI
\begin{cases}y^{\prime}+y=f(x) & \text { onde } \\\ y(0)=0 & f(x)= \begin{cases}1, & \text { se } 0 \leq x \leq 1 \\\\ 0, & \text { se } x>1\end{cases} \end{cases}
Sugestão: Primeiro resolva o PVI em 0 \leq x \leq 1 \operatorname{com} y(0)=0 ; ache o valor y(1) e resolva o “novo” PVI em x>1, usando o y(1) encontrado.

Passo 1

O enunciado pede para determinar uma solução contínua do problema de valor inicial
\begin{cases} y'(x)+y(x)=f(x),\\[4pt] y(0)=0, \end{cases}
onde f\) é dada por \[f(x)=\begin{cases} 1, & \text{se }0\le x\le 1,\\[4pt] 0, & \text{se }x>1. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é linear de primeira ordem com coeficiente de y\] igual a \(1.
  • A função f é por partes: vale 1 no intervalo [0,1] e vale 0 para x>1.
  • Condição inicial: y(0)=0.
  • O enunciado sugere resolver em [0,1], achar y(1) e então resolver para x>1 usando y(1).]

Passo 2

Entendendo a técnica que vamos usar (explicação didática do método): para uma equação linear de primeira ordem da forma
y'(x)+p(x)\,y(x)=q(x),
a técnica padrão é multiplicar por um fator integrante \mu(x) definido por
\mu(x)=\exp\!\bigg(\int p(x)\,dx\bigg).
O motivo: ao multiplicar a equação por \mu(x) obtemos
\mu(x)y'(x)+\mu(x)p(x)y(x)=\mu(x)q(x),
e o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \mu(x)y(x), isto é,
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y(x)\big)=\mu(x)q(x).
Então integramos ambos os lados e isolamos y(x). Aqui cada símbolo significa:
  • p(x) é o coeficiente que multiplica y (no nosso caso p(x)=1),
  • q(x) é a fonte não homogênea (no nosso caso q(x)=f(x)),
  • \mu(x) é o fator que torna a equação exata para o produto \mu y.

Passo 3

Aplicando o método no intervalo 0\le x\le 1 (onde f(x)=1):
a equação é
y'(x)+y(x)=1.
Aqui p(x)=1 e q(x)=1. O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\bigg(\int 1\,dx\bigg)=\exp(x)=e^{x}.
Multiplicando a equação por e^{x} obtemos
e^{x}y'(x)+e^{x}y(x)=e^{x}.
Reconhecemos o lado esquerdo como derivada:
\frac{d}{dx}\big(e^{x}y(x)\big)=e^{x}.
Integramos com respeito a x:
e^{x}y(x)=\int e^{x}\,dx + C = e^{x}+C,
onde C é constante de integração. Isolando y(x) temos
y(x)=1+Ce^{-x}.

Passo 4

Aplicando a condição inicial y(0)=0 para determinar C:
substituindo x=0 em \displaystyle y(x)=1+Ce^{-x}
0 = y(0)=1 + C e^{0}=1+C.
Logo
C=-1.
Portanto, para 0\le x\le 1 obtemos a solução
y(x)=1-e^{-x}.

Passo 5

Calculando y(1) (valor pedido para usar como condição no próximo intervalo):
substituindo x=1 em \displaystyle y(x)=1-e^{-x} resulta em
y(1)=1-e^{-1}.

Passo 6

Agora resolvemos para x>1. Nesse intervalo f(x)=0, então a equação torna-se homogênea:
y'(x)+y(x)=0.
Usamos a mesma ideia (ou separação de variáveis): rearranjando,
y'(x)=-y(x).
Isto é uma equação separável; a solução geral é
y(x)=C_2 e^{-x},
onde C_2 é constante. Ou, usando fator integrante e^{x}, obtemos e^{x}y(x)= constante, o que é equivalente.

Passo 7

Determinar C_2 impondo continuidade em x=1 (o enunciado pede solução contínua): exigimos
y(1^-)=y(1^+).
Já calculamos y(1^-)=1-e^{-1}. Para x>1 temos y(x)=C_2 e^{-x}, então
y(1^+)=C_2 e^{-1}.
Igualando:
C_2 e^{-1}=1-e^{-1}.
Logo
C_2 = e\big(1-e^{-1}\big)=e-1.
Portanto, para x>1 a solução é
y(x)=(e-1)e^{-x}.

Passo 8

Resumo e verificação rápida:
  • Para 0\le x\le 1 temos y(x)=1-e^{-x}. Verifiquei que satisfaz a equação y'+y=1 e y(0)=0.
  • Para x>1 temos y(x)=(e-1)e^{-x}. Verifiquei que satisfaz y'+y=0 e que é contínua em x=1 porque (e-1)e^{-1}=1-e^{-1}.

Resposta

y(x)=\begin{cases} 1-e^{-x}, & 0\le x\le 1,\\[6pt] (e-1)e^{-x}, & x>1. \end{cases}]

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