Determine uma solução contínua do PVI
Sugestão: Primeiro resolva o PVI em
ache o valor
e resolva o “novo” PVI em
, usando o
encontrado.
Passo 1
O enunciado pede para determinar uma solução contínua do problema de valor inicial
onde
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é linear de primeira ordem com coeficiente de .
- A função
é por partes: vale no intervalo e vale para . - Condição inicial:
. - O enunciado sugere resolver em
, achar e então resolver para usando .]
Passo 2
Entendendo a técnica que vamos usar (explicação didática do método): para uma equação linear de primeira ordem da forma
a técnica padrão é multiplicar por um fator integrante
definido por
O motivo: ao multiplicar a equação por
obtemos
e o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, isto é,
Então integramos ambos os lados e isolamos
. Aqui cada símbolo significa:
-
é o coeficiente que multiplica (no nosso caso ), -
é a fonte não homogênea (no nosso caso ), -
é o fator que torna a equação exata para o produto .
Passo 3
Aplicando o método no intervalo
(onde
):
a equação é
a equação é
Aqui
e
. O fator integrante é
Multiplicando a equação por
obtemos
Reconhecemos o lado esquerdo como derivada:
Integramos com respeito a
:
onde
é constante de integração. Isolando
temos
Passo 4
Aplicando a condição inicial
para determinar
:
substituindo em
dá
substituindo
Logo
Portanto, para
obtemos a solução
Passo 5
Calculando
(valor pedido para usar como condição no próximo intervalo):
substituindo em
resulta em
substituindo
Passo 6
Agora resolvemos para
. Nesse intervalo
, então a equação torna-se homogênea:
Usamos a mesma ideia (ou separação de variáveis): rearranjando,
Isto é uma equação separável; a solução geral é
onde
é constante. Ou, usando fator integrante
, obtemos
constante, o que é equivalente.
Passo 7
Determinar
impondo continuidade em
(o enunciado pede solução contínua): exigimos
Já calculamos
. Para
temos
, então
Igualando:
Logo
Portanto, para
a solução é
Passo 8
Resumo e verificação rápida:
- Para
temos . Verifiquei que satisfaz a equação e . - Para
temos . Verifiquei que satisfaz e que é contínua em porque .