Calcule a solução geral de cada uma das equações diferenciais lineares:
© y^prime prime+omega^2 y=0, omega>0;

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes dada por y'' + omega^2 y = 0, onde omega>0. Este tipo de equação se resolve usando a equação característica.

Passo 2

Para transformar a EDO em uma equação algébrica, assumimos y=e^rt (ou y=e^rx se a variável independente for x). Substituindo na equação, obtemos a equação característica:
r^2 + omega^2 = 0

Passo 3

Resolvendo essa equação para r, temos raízes complexas conjugadas:
r^2 = -omega^2 Longrightarrow r = pm i,omega

Passo 4

Quando a equação característica apresenta raízes r=alphapm ibeta, a solução geral da EDO é dada por y(t)=C1e^alpha tcos(beta t)+C2e^alpha tsin(beta t). Aqui, alpha=0 e beta=omega, então a parte exponencial some.

Passo 5

Substituindo alpha=0 e beta=omega na forma geral, concluímos que a solução é uma combinação de funções seno e cosseno com frequência omega.

Resposta

A solução geral é
y(t)=C1cos(omega t)+C2sin(omega t),
C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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