Uma equação diferencial de primeira ordem
é chamada de homogênea quando a função
satisfaz a condição
para todo
; essas equações sempre podem ser reescritas na forma
ou
. Logo, basta fazer a mudança de variável
na penúltima (e
na última) para transformar a EDO homogênea em uma EDO separável. Use essas informações para resolver as seguintes equações:
(b)
(b)
Passo 1
O problema nos dá a equação diferencial de primeira ordem
[y’=\frac{2xy e{(x/y)2}}{y^2 + y^2 e{(x/y)2} + 2x^2 e{(x/y)2}}},
que satisfaz a condição de homogeneidade . Isso indica que podemos usar a mudança de variável
para reduzir a EDO a uma forma separável.
que satisfaz a condição de homogeneidade
Passo 2
Substituímos
, de modo que
. Calculamos
[y’=\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x}{u}\Bigr)=\frac{u - x,du/dx}{u^2}.
Também escrevemos o lado direito em função de : usando
e
, obtém-se
[f(x,y)=\frac{2xy e{u2}}{y2(1+e{u2})+2x2 e{u2}}
=\frac{2u e{u2}}{1+e{u2}+2u^2 e{u2}}.
]
Também escrevemos o lado direito em função de
[f(x,y)=\frac{2xy e{u2}}{y2(1+e{u2})+2x2 e{u2}}
=\frac{2u e{u2}}{1+e{u2}+2u^2 e{u2}}.
]
Passo 3
Substituindo em
temos
[\frac{u - x,du/dx}{u^2}=\frac{2u e{u2}}{1+e{u2}+2u^2 e{u2}}.
]
Multiplicando por e isolando
chega-se a
[x\frac{du}{dx}=\frac{u(1+e{u2})}{1+e{u2}+2u^2 e{u2}}.
]
]
Multiplicando por
[x\frac{du}{dx}=\frac{u(1+e{u2})}{1+e{u2}+2u^2 e{u2}}.
]
Passo 4
Reescrevemos o lado direito para separar variáveis:
[\frac{1+e{u2}+2u^2 e{u2}}{u(1+e{u2})}=\frac1u+\frac{2u e{u2}}{1+e{u2}}.
]
Assim a EDO fica
[\frac{dx}{x}=\Bigl(\frac1u+\frac{2u e{u2}}{1+e{u2}}\Bigr)du.
]
]
Assim a EDO fica
[\frac{dx}{x}=\Bigl(\frac1u+\frac{2u e{u2}}{1+e{u2}}\Bigr)du.
]
Passo 5
Integramos ambos os lados:
[\int\frac{dx}{x}=\int\frac{du}{u}+\int\frac{2u e{u2}}{1+e{u2}}du
\quad\Longrightarrow\quad
\ln|x|=\ln|u|+\ln\bigl(1+e{u2}\bigr)+C.
]
\quad\Longrightarrow\quad
\ln|x|=\ln|u|+\ln\bigl(1+e{u2}\bigr)+C.
]
Passo 6
Reagrupando dá
[\ln\bigl(u(1+e{u2})\bigr)=\ln|x|+C
\quad\Longrightarrow\quad
u(1+e{u2})=Kx,
]
onde é constante arbitrária. Substituindo
obtemos a solução implícita
\quad\Longrightarrow\quad
u(1+e{u2})=Kx,
]
onde
Passo 7
final_answer