Uma equação diferencial de primeira ordem y^prime=f(x, y) é chamada de homogênea quando a função f satisfaz a condição f(t x, t y)=f(x, y) para todo t; essas equações sempre podem ser reescritas na forma y^prime=g(y / x) ou y^prime=h(x / y). Logo, basta fazer a mudança de variável u=y / x na penúltima (e u=x / y na última) para transformar a EDO homogênea em uma EDO separável. Use essas informações para resolver as seguintes equações:
(b) y^prime=2 x y e^(x / y)^2y^2+y^2 e^(x / y)^2+2 x^2 e^(x / y)^2

Passo 1

O problema nos dá a equação diferencial de primeira ordem
[y’=\frac{2xy e{(x/y)2}}{y^2 + y^2 e{(x/y)2} + 2x^2 e{(x/y)2}}},
que satisfaz a condição de homogeneidade f(tx,ty)=f(x,y). Isso indica que podemos usar a mudança de variável u=xy para reduzir a EDO a uma forma separável.

Passo 2

Substituímos u=xy, de modo que y=xu. Calculamos
[y’=\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x}{u}\Bigr)=\frac{u - x,du/dx}{u^2}.
Também escrevemos o lado direito em função de u: usando y=tfracxu e y^2=tfracx^2u^2, obtém-se
[f(x,y)=\frac{2xy e{u2}}{y2(1+e{u2})+2x2 e{u2}}
=\frac{2u e{u2}}{1+e{u2}+2u^2 e{u2}}.
]

Passo 3

Substituindo em y'=f(x,y) temos
[\frac{u - x,du/dx}{u^2}=\frac{2u e{u2}}{1+e{u2}+2u^2 e{u2}}.
]
Multiplicando por u^2 e isolando du/dx chega-se a
[x\frac{du}{dx}=\frac{u(1+e{u2})}{1+e{u2}+2u^2 e{u2}}.
]

Passo 4

Reescrevemos o lado direito para separar variáveis:
[\frac{1+e{u2}+2u^2 e{u2}}{u(1+e{u2})}=\frac1u+\frac{2u e{u2}}{1+e{u2}}.
]
Assim a EDO fica
[\frac{dx}{x}=\Bigl(\frac1u+\frac{2u e{u2}}{1+e{u2}}\Bigr)du.
]

Passo 5

Integramos ambos os lados:
[\int\frac{dx}{x}=\int\frac{du}{u}+\int\frac{2u e{u2}}{1+e{u2}}du
\quad\Longrightarrow\quad
\ln|x|=\ln|u|+\ln\bigl(1+e{u2}\bigr)+C.
]

Passo 6

Reagrupando dá
[\ln\bigl(u(1+e{u2})\bigr)=\ln|x|+C
\quad\Longrightarrow\quad
u(1+e{u2})=Kx,
]
onde K=e^C é constante arbitrária. Substituindo u=tfracxy obtemos a solução implícita

Passo 7

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