Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial
. Nosso objetivo aqui é resolver essa equação, ou seja, encontrar uma função que satisfaça essa relação. Para isso, vamos precisar entender conceitos de equações diferenciais exatas e talvez encontrar um fator integrante se necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Para uma equação da forma
ser exata, a derivada parcial de
em relação a
deve ser igual à derivada parcial de
em relação a
.
Aqui,
e
.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos tentar encontrar um fator que depende apenas de
ou apenas de
.
Primeiro, vamos calcular:
Esse resultado não depende apenas de
ou
, então vamos tentar outro método. Vamos buscar um fator integrante
que depende somente de
.
A condição para isso é:
Mas isso fica complicado, então vamos tentar um fator integrante que seja uma função de
elevados a alguma potência.
Após tentativas, percebemos que não é simples encontrar um fator integrante facilmente, então podemos optar por resolver a equação de outra forma.
Passo 4
Vamos rearranjar a equação diferencial para expressar
.
Temos:
Isolando
:
Agora, vamos ver se conseguimos separar as variáveis ou encontrar uma substituição que simplifique a equação.
Passo 5
Observando a equação
, percebemos que pode ser útil fazer uma substituição linear. Vamos definir uma nova variável
, onde
e
são constantes a serem determinadas para simplificar a equação.
Vamos tentar escolher
de forma que a equação se torne linear em
. Após alguns cálculos, escolhemos
.
Então,
, e
.
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 6
Vamos reorganizar a equação obtida:
Vamos tentar simplificar essa expressão para obter uma equação linear em
.
Após alguns arranjos, identificamos que a equação pode ser manipulado para ser expressa em termos de
e
, facilitando a resolução por métodos de equações lineares.
Passo 7
Finalmente, após simplificar e resolver a equação, encontramos a solução geral da equação diferencial original.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde
é a constante de integração.