Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é dada por:
Aqui, a matéria que estamos lidando é Equações Diferenciais Exatas. Para resolver, precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial que satisfaz a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Temos:
Uma equação diferencial na forma $ M , dx + N , dy = 0 $ é exata se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ for igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação é exata.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma função potencial $ F(x, y) $ tal que:
Vamos integrar $ M $ em relação a $ x $:
Aqui, $ h(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $.
Passo 5
Para encontrar $ h(y) $, derivamos $ F(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N $:
Assim, temos:
Integrando em relação a $ y $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Substituindo $ h(y) $ na função $ F(x, y) $:
Resposta
A solução geral da equação é: