Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
y cos x d x+(sen x-sen y) d y=0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é dada por:
y cos x , dx + (sin x - sin y) , dy = 0
Aqui, a matéria que estamos lidando é Equações Diferenciais Exatas. Para resolver, precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial que satisfaz a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Temos:
M(x, y) = y cos x
N(x, y) = sin x - sin y
Uma equação diferencial na forma $ M , dx + N , dy = 0 $ é exata se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ for igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Mpartial y = cos x
partial Npartial x = cos x
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação é exata.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma função potencial $ F(x, y) $ tal que:
F(x, y)
Vamos integrar $ M $ em relação a $ x $:
partial Fpartial x = M = y cos x
Aqui, $ h(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $.

Passo 5

Para encontrar $ h(y) $, derivamos $ F(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N $:
h(y)
Assim, temos:
F(x, y)
Integrando em relação a $ y $:
y
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo $ h(y) $ na função $ F(x, y) $:
h(y)

Resposta

A solução geral da equação é:
y sin x + cos y = C

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