Calcule a solução geral da equação diferencial.
y^{\prime \prime}+y^{\prime}+\frac{5}{4} y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
y'' + y' + \frac{5}{4}\,y = 0,
e pede para calcular a solução geral y(x). As informações relevantes são:
  • Equação homogênea com coeficientes constantes;
  • Derivadas são em relação a x (isto é, y'=dy/dx, y''=d^2y/dx^2);
  • Não foram dadas condições iniciais, então devem aparecer constantes arbitrárias na solução geral.

Passo 2

Vamos procurar soluções da forma y=e^{r x}. Esta é uma técnica padrão para equações lineares com coeficientes constantes porque exponenciais transformam derivadas em multiplicação por r.
Calcule as derivadas dessa tentativa:
y = e^{r x},\qquad y' = r e^{r x},\qquad y''=r^{2} e^{r x}.
Substituindo na equação diferencial e dividindo por e^{r x} (que nunca é zero) obtemos a equação característica:
r^{2}+r+\frac{5}{4}=0.

Passo 3

Resolvemos a quadrática pela fórmula de Bhaskara. Primeiro o discriminante:
\Delta = 1^{2}-4\cdot 1\cdot \frac{5}{4} = 1-5 = -4.
Como \Delta<0, as raízes são complexas. Aplicando a fórmula:
r=\frac{-1\pm\sqrt{\Delta}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{-4}}{2}=\frac{-1\pm 2i}{2}=-\frac{1}{2}\pm i.
Portanto as raízes têm parte real \alpha=-\tfrac{1}{2} e parte imaginária \pm \beta com \beta=1.

Passo 4

Explico por que raízes complexas levam à forma com cosseno e seno: se r=\alpha\pm i\beta então e^{(\alpha+i\beta)x}=e^{\alpha x}(\cos\beta x+i\sin\beta x) (fórmula de Euler). As partes real e imaginária dessa exponencial são soluções reais independentes da equação linear real. Logo a solução geral real é
y(x)=e^{\alpha x}\big(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias.

Passo 5

Substituindo \alpha=-\tfrac{1}{2} e \beta=1 obtemos a solução geral da equação dada:
y(x)=e^{-x/2}\big(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\big),
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}. Esta forma é a que se usa em prova: mostra a quebra entre decaimento exponencial (fator e^{-x/2}) e oscilações (cosseno e seno).

Resposta

y(x)=e^{-x/2}\big(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\big)

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