Calcule a solução geral da equação diferencial.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
e pede para calcular a solução geral
. As informações relevantes são:
- Equação homogênea com coeficientes constantes;
- Derivadas são em relação a
(isto é, , ); - Não foram dadas condições iniciais, então devem aparecer constantes arbitrárias na solução geral.
Passo 2
Vamos procurar soluções da forma
. Esta é uma técnica padrão para equações lineares com coeficientes constantes porque exponenciais transformam derivadas em multiplicação por
.
Calcule as derivadas dessa tentativa:
Substituindo na equação diferencial e dividindo por
(que nunca é zero) obtemos a equação característica:
Passo 3
Resolvemos a quadrática pela fórmula de Bhaskara. Primeiro o discriminante:
Como
, as raízes são complexas. Aplicando a fórmula:
Portanto as raízes têm parte real
e parte imaginária
com
.
Passo 4
Explico por que raízes complexas levam à forma com cosseno e seno: se
então
(fórmula de Euler). As partes real e imaginária dessa exponencial são soluções reais independentes da equação linear real. Logo a solução geral real é
onde
e
são constantes reais arbitrárias.
Passo 5
Substituindo
e
obtemos a solução geral da equação dada:
com
. Esta forma é a que se usa em prova: mostra a quebra entre decaimento exponencial (fator
) e oscilações (cosseno e seno).