Calcule a solução geral da equação diferencial.
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+\frac{25}{4} y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
y'' + 4y' + \tfrac{25}{4}y = 0.
O que é pedido: encontrar a solução geral y(x) desta equação, ou seja, a família de todas as soluções reais, com constantes arbitrárias.

Passo 2

Vamos usar uma ideia muito prática que funciona sempre para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes: tentar uma solução da forma
y(x)=e^{r x},
onde r é um número (possivelmente complexo) que temos que determinar. A razão é simples e útil: derivadas de e^{r x} apenas multiplicam por r, então a equação fica algébrica quando substituímos.
Calcule as derivadas:
y'(x)=r e^{r x},\qquad y''(x)=r^{2} e^{r x}.
Substituindo na equação diferencial obtemos
r^{2}e^{r x}+4 r e^{r x}+\tfrac{25}{4}e^{r x}=0.
Como e^{r x} nunca é zero, podemos dividir por e^{r x} e ficar com a equação algébrica (chamada de equação característica):
r^{2}+4r+\tfrac{25}{4}=0.

Passo 3

Agora resolvemos a equação quadrática
r^{2}+4r+\tfrac{25}{4}=0.
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Primeiro o discriminante:
\Delta = 4^{2}-4\cdot 1\cdot \tfrac{25}{4}=16-25=-9.
O discriminante é negativo, então as raízes são complexas conjugadas. Aplicando a fórmula:
r=\frac{-4\pm\sqrt{\Delta}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{-9}}{2}=\frac{-4\pm 3\,\mathrm{i}}{2}.
Escrevendo em termos de parte real e imaginária:
r=-2\pm \tfrac{3}{2}\,\mathrm{i}.
Aqui a parte real é \alpha=-2 e a parte imaginária é \beta=\tfrac{3}{2}.

Passo 4

Quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas \alpha\pm \mathrm{i}\beta (com \alpha,\beta reais e \beta\neq 0), a solução geral real da equação diferencial é dada por
y(x)=e^{\alpha x}\big(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias. A ideia por trás disso: e^{(\alpha+\mathrm{i}\beta)x}=e^{\alpha x}(\cos(\beta x)+\mathrm{i}\sin(\beta x)), e tomando combinações lineares das partes real e imaginária obtém-se a solução real geral.

Passo 5

Substituindo \alpha=-2 e \beta=\tfrac{3}{2} na fórmula acima, a solução geral da equação dada é
y(x)=e^{-2x}\big(C_{1}\cos\big(\tfrac{3}{2}x\big)+C_{2}\sin\big(\tfrac{3}{2}x\big)\big),
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}. Isso já é a família completa de soluções reais.

Passo 6

Pequena checagem mental (só pra ficar seguro): cada função e^{(-2\pm \tfrac{3}{2}\mathrm{i})x} satisfaz a equação porque substituindo gera o fator r^{2}+4r+\tfrac{25}{4} que vale zero (pois r é raiz da característica). Como a equação tem coeficientes reais, as partes real e imaginária dessas soluções complexas fornecem duas soluções reais linearmente independentes, e sua combinação linear com constantes reais produz exatamente a solução geral que escrevemos. Então está tudo consistente.

Resposta

y(x)=e^{-2x}\big(C_{1}\cos\big(\tfrac{3}{2}x\big)+C_{2}\sin\big(\tfrac{3}{2}x\big)\big)

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