Calcule a solução geral da equação diferencial.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
O que é pedido: encontrar a solução geral
desta equação, ou seja, a família de todas as soluções reais, com constantes arbitrárias.
Passo 2
Vamos usar uma ideia muito prática que funciona sempre para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes: tentar uma solução da forma
onde
é um número (possivelmente complexo) que temos que determinar. A razão é simples e útil: derivadas de
apenas multiplicam por
, então a equação fica algébrica quando substituímos.
Calcule as derivadas:
Substituindo na equação diferencial obtemos
Como
nunca é zero, podemos dividir por
e ficar com a equação algébrica (chamada de equação característica):
Passo 3
Agora resolvemos a equação quadrática
Usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Primeiro o discriminante:
O discriminante é negativo, então as raízes são complexas conjugadas. Aplicando a fórmula:
Escrevendo em termos de parte real e imaginária:
Aqui a parte real é
e a parte imaginária é
.
Passo 4
Quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas
(com
reais e
), a solução geral real da equação diferencial é dada por
onde
e
são constantes reais arbitrárias. A ideia por trás disso:
, e tomando combinações lineares das partes real e imaginária obtém-se a solução real geral.
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula acima, a solução geral da equação dada é
com
. Isso já é a família completa de soluções reais.
Passo 6
Pequena checagem mental (só pra ficar seguro): cada função
satisfaz a equação porque substituindo gera o fator
que vale zero (pois
é raiz da característica). Como a equação tem coeficientes reais, as partes real e imaginária dessas soluções complexas fornecem duas soluções reais linearmente independentes, e sua combinação linear com constantes reais produz exatamente a solução geral que escrevemos. Então está tudo consistente.