Utilize o método de variação de parâmetros para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas: Res.: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método de variação de parâmetros. Para isso, precisamos primeiro encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea: . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve calculando as raízes da equação característica.
Passo 3
A equação característica associada é . Resolvendo essa equação quadrática:
Temos uma raiz real dupla .
Passo 4
Com a raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa usando o método de variação de parâmetros.
Passo 6
O método de variação de parâmetros funciona assim: assumimos que as constantes e na solução homogênea são funções de , ou seja, e . Então, a solução particular será uma combinação dessas funções multiplicadas pelas soluções da homogênea.
Passo 7
Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea:
Passo 8
Para aplicar a variação de parâmetros, calculamos o Wronskiano das soluções e :