Utilize o método de variação de parâmetros para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas: y'' + 2y' + y = e^(-t) ln(t) Res.: y = c1 * e^(-t) + c2 * t * e^(-t) + (1/2) * t^2 * e^(-t) * ln(t) - (3/4) * t^2 * e^(-t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método de variação de parâmetros. Para isso, precisamos primeiro encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea: . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve calculando as raízes da equação característica.

Passo 3

A equação característica associada é . Resolvendo essa equação quadrática:
Temos uma raiz real dupla .

Passo 4

Com a raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa usando o método de variação de parâmetros.

Passo 6

O método de variação de parâmetros funciona assim: assumimos que as constantes e na solução homogênea são funções de , ou seja, e . Então, a solução particular será uma combinação dessas funções multiplicadas pelas soluções da homogênea.

Passo 7

Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea:

Passo 8

Para aplicar a variação de parâmetros, calculamos o Wronskiano das soluções e :

Passo 9

As fórmulas para e são:
Onde .

Passo 10

Calculando :
A integral de é:
Então:

Passo 11

Calculando :

Passo 12

Agora, a solução particular é:
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados